【正文】 x?? ? ? ?? ? ? ?于是 222| ( ) ( 0 ) | e .nxnf x f n x ???222 e nxnx ? [0,1]容易驗證 在 上只有惟一的極大值點 012x n? , 因此為最大值點 . 于是 12su p | ( ) ( ) | e2nnf x f x ?? ? ? ? ?根據(jù)余項準(zhǔn)則知該函數(shù)列在 [0,1] 上不一致收斂 . 注 222{ ( ) e }nxnf x n x ?? 不一致收斂是因為函數(shù)列余 的增大一致趨于 0 0x ? n項的數(shù)值在 附近不能隨 (見圖 134), 因此對任何不含原點的區(qū)間 [ , 1 ] ( 0aa?222{ ( ) e }nxnf x n x ??在該區(qū)間上一致收斂于 0. 1),?圖 13 – 4 0101, ( ) 0( ) .0 1 ,1 1 1sup | ( ) ( ) | | ( ) ( ) | ,2sup | ( ) ( ) | 0 ,{ ( ) }nnnxnxnx f x nxf x f x f fnnf x f xfx????? ? ???? ? ? ??解 對 任 意 給 定 的(1) 當(dāng) 時 由 于不 趨 于故 在 (0,1) 上 不 一 致 收 斂 于 0.22()1nnxfxnx???例 5 討 論 函 數(shù) 列 在 區(qū) 間 (0,1) 和(1, + ) 上 的 一 致 收 斂 性 .2 2 2 211,11| ( ) ( ) | .11s up | ( ) ( ) | 0 , .{ ( ) }nnxnxnx nxf x f xn x n x nx nf x f x nnfx? ? ??? ? ??? ? ? ? ??? ? ? ? ??(2) 當(dāng) 時故則 在 (1 ,+ ) 上 一 致 收 斂 于 0.二、函數(shù)項級數(shù)及其一致收斂性 { ( ) }nu x E設(shè) 是 定 義 在 數(shù) 集 上 的 一 個 函 數(shù) 列 , 表 達(dá) 式12( ) ( ) ( ) , ( 9 )nu x u x u x x E? ? ? ? ?稱為定義在 E上的 函數(shù)項級數(shù) , 1()nnux???簡記為 或( ) .nux 稱?1( ) ( ) , , 1 , 2, ( 10 )nnkkS x u x x E n?? ? ??為函數(shù)項級數(shù) (9)的部分和函數(shù)列 . 0 ,xE?若 數(shù)項級數(shù)1 0 2 0 0( ) ( ) ( ) ( 1 1 )nu x u x u x? ? ? ?001( ) ( )nnkkS x u x?? ?n ??收斂 , 即部分和 當(dāng) 時極限 0x 0x存在 , 則稱級數(shù) (9)在點 收斂 , 稱為級數(shù) (9)的收 斂點 . 若級數(shù) (11)發(fā)散 , 則稱級數(shù) (9)在點 0x 發(fā)散 . 若 級數(shù) (9)在 E 的某個子集 D 上每點都收斂 , 則稱級數(shù) (9)在 D 上收斂 . 若 D 為級數(shù) (9)全體收斂點的集合 , 這時就稱 D為級數(shù) (9)的收斂域 . 級數(shù) (9)在 D上每一 點 x 與其所對應(yīng)的數(shù)項級數(shù) (11)的和 ()Sx構(gòu)成一個 定義在 D 上的函數(shù) , 稱為級數(shù) (9)的和函數(shù) , 并記作 12( ) ( ) ( ) ( ) , ,nu x u x u x S x x D? ? ? ? ? ?即 l i m ( ) ( ) , .nn S x S x x D?? ??也就是說 , 函數(shù)項級數(shù) (9)的收斂性就是指它的部分 和函數(shù)列 (10)的收斂性 . 例 5 ( , )? ? ? ?定義在 上的函數(shù)項級數(shù)( 幾何級數(shù))21 , ( 1 2 )nx x x? ? ? ? ?1( ) . | | 11nnxS x xx????的部分和函數(shù)為 當(dāng) 時,1( ) lim ( ) .1nnS x S x x???? ?1( 1 2 ) ( 1 , 1 ) ( ) 。 1815年 10月 31日生于德國威斯特伐利亞小村落奧斯滕費爾德 ,1897年 2月 19日卒于柏林。 1854年，根據(jù)他的學(xué)術(shù)成就，柯尼斯堡大學(xué)授予他名譽(yù)博士學(xué)位。 魏爾斯特拉斯 的主要貢獻(xiàn)在數(shù)學(xué)分析、解析函數(shù)論、變分學(xué)、微分幾何和線性代數(shù)等方面。他在嚴(yán)格的邏輯基礎(chǔ)上 ,建立了實數(shù)理論 ,用遞增有界序列來定義無理數(shù) ,給出了數(shù)集的上、下極限、極限點和連續(xù)函數(shù)等嚴(yán)格定義。 他還是一位杰出的教育家，一生培養(yǎng)了大批有成就的數(shù)學(xué)人才，其中著名的有柯瓦列夫斯卡婭、施瓦茲、米塔 列夫勒、朔特基、富克斯等。nu x I在區(qū)間 上一致收斂?( ii ) , { ( ) } 。 3的引理的推 論 )得到 11| ( ) ( ) ( ) ( ) |n n n p n pu x v x u x v x? ? ? ???由函數(shù)項級數(shù)一致收斂性的柯西準(zhǔn)則 , 得級數(shù) (14) 在 I 上一致收斂 . 1( | ( ) | 2 | ( ) | ) 3 .n n pv x v x M????? ? ?證 ( i ) , 0 , ,N n N?由 任給 存在某正數(shù) 使得當(dāng) 及??,p x I?任何正整數(shù) 對一切 有定理 (狄利克雷判別法 ) 設(shè) ( i ) ( )nux 的部分和數(shù)列?1( ) ( ) ( 1 , 2, )nnkkU x u x n????在 I 上一致有界 。nx I v x對于每一個 是單調(diào)的?? ??( i i i ) ( ) 0 ( ) ,nI v x n在上則級數(shù) (14)在 I上一致收斂 . | ( ) | .nU x M?證 由 (i), 存在正數(shù) M, 對一切 x I, 有 ?因此當(dāng) n, p 為任何正整數(shù)時 , 12| ( ) ( ) ( ) | | ( ) ( ) | 2 .n n n p n p nu x u x u x U x U x M? ? ? ?? ? ? ? ? ?對任何一個 x I, 再由 (ii)及阿貝耳引理得到 ?11| ( ) ( ) ( ) ( ) |n n n p n pu x v x u x v x? ? ? ??? 0, 存在正數(shù) N, 當(dāng) nN 時 , 對 再由 (iii), 對任給的 ?一切 x I, 有 ?| ( ) | ,nvx ??所以 12 ( | ( ) | 2 | ( ) | ) .n n pM v x v x????11| ( ) ( ) ( ) ( ) |n n n p n pu x v x u x v x? ? ? ???2 ( 2 ) 6 .MM? ? ?? ? ?于是由一致收斂性的柯西準(zhǔn)則 , 級數(shù) (14)在 I上一致 收斂 . 例 11 函數(shù)項級數(shù) 11( 1 ) ( )nnnnxnn??????在 [0, 1]上一致收斂 . ( 1 )( ) , ( ) 1 nnnnxu x v xnn記? ??? ? ?????nu?,于是 在 [0, 1] 上一致收斂， ()nvx在 [0,1]上單調(diào)增且一致有界 , 由 阿貝耳判別法就能得到結(jié)果 . c o s ( 1 5 )na n x?[ , 2 ] ( 0 )? ? ? ? ?? ? ?在 上一致收斂.11s i n ( )12| c os |22 s i n2nknxkxx?????例 12 若數(shù)列 單調(diào)且收斂于零 , 則級數(shù) {}na證 由第十二章 167。 2 一致收斂函數(shù)列與函數(shù)項級數(shù)的性質(zhì) 定理 ( 極限交換定理 ) 設(shè)函數(shù)列 {}nf 在 00( , ) ( , )a x x b()fx上一致收斂于 , 且對每個 n, 0l i m ( ) ,nnxx f x a? ?lim nn a則和??0li m ( ) .xx fx? 均存在且相等即 00l i m l i m ( ) l i m l i m ( ) . ( 1 )nnx x n n x xf x f x? ? ? ? ? ??{}na 0?? {}nf證 先證 是收斂數(shù)列 . 對任意 , 由于 一 致收斂 , 故存在正整數(shù) N, 當(dāng) nN 及任意正整數(shù) p, 對一切 00( , ) ( , )x a x x b? 有 | ( ) ( ) | .n n pf x f x ????從而 0| | l i m | ( ) ( ) | .n n p n n pxxa a f x f x ????? ? ? ?{}na ?? ?l i m ,nn aA設(shè)于是由柯西準(zhǔn)則可知 是收斂數(shù)列 , 即 0l i m l i m ( ) ,nn x x f x A? ? ? ?下面證明 00l i m ( ) l i m l i m ( ) .nx x x x nf x f x A? ? ? ???注意到 | ( ) |f x A?1 1 1 1| ( ) ( ) | | ( ) | | |N N N Nf x f x f x a a A? ? ? ?? ? ? ? ? ?只需證明不等式右邊的每一項都可以小于事先給定 的任意正數(shù)即可 . ， , 因此對任 ()nfx ()fx na A由于 一致收斂于 收斂于 | ( ) ( ) | | |33nnf x f x a A??? ? ? ?和同時成立 . 特別當(dāng) 1nN??時 , 有 , 有 0( , )xb0?意 ? nN?, 存在正數(shù) , 當(dāng) 時 , 對任意 0( , )x a x?N??? ? ? ?11| ( ) ( ) | | |33NNf x f x a A??和??? ?0 11l i m ( ) ,NNxx f x a0? ?又因為 故存在 , 當(dāng) 00 | |xx ?? ? ?時 ,也有 11| ( ) | .3NNf x a?????0, 0 ,x x x ?? ? ?這樣 當(dāng) 滿足 時? ? ?? ? ? ? ?1 1 1| ( ) | | ( ) ( ) | | ( ) |N N Nf x A f x f x f x a?? ? ? ? ? ?1| | ,333NaA??? ?這就證明了 ? ?0l i m ( ) .xx f x A, ( ) ( , )nf x a b類似地 若 在 lim ( )nxa fx??上一致收斂 , 且 存在 , 則有 ??? ? ? ??? ?l i m l i m ( ) l i m l i m ( ) 。( ) , 1 , 2 , ...( 1 ) 2139。( ) [ 0 , 1 ]( ) [ 0 , 1 ]nnnnnuxu x S xxxu x nn n x n nx nu x u xnSx? ? ? ????? ? ? 因 為 每 一 個 在 上 連 續(xù) , 所 以 由 定 理和 定 理 的 和 函 數(shù) 在 上連 續(xù) 且 可 積 , 又即 也 為 的 優(yōu) 級 數(shù) 從 而 在上 一 致 收 斂 . 由 定 理 知 在 上 可 微 . 從歷史上來看 ,本節(jié)介紹的一些結(jié)果對當(dāng)時的數(shù)學(xué)家也不是一下子都明白的 .19世紀(jì)的大數(shù)學(xué)家 Cauchy在他的 分析教程 中曾斷言 :收斂的連續(xù)函數(shù)項級數(shù)的和函數(shù)也是連續(xù)的 .后來 Abel在他的一篇關(guān)于二項式級數(shù)的長文章中指出了他的錯誤 . 作業(yè) 習(xí)題 9