【正文】 級數(shù)和函數(shù)列均可用） . 4 利用函數(shù)項級數(shù)一致收斂的 M 判別法（ Weierstrass 判別法） . 5 利用函數(shù)項級數(shù)一致收斂的 Dimchler 判別法和 Abel 判別法 . 6 利用結(jié)論：如果函數(shù)列 | ( )|nfx 在 ? ?,ab 上收斂于 ()fx，且每一 ()nfx在 ? ?,ab上滿足 Lipschitz 條件，即存在 0M? ，使得 | ( ) ( ) | | |nnf x f y M x y? ? ?， ? ?,x y ab? ，n=1,2,……,則 ? ?()nfx 在 ? ?,ab 上一致收斂于 ()fx. 7 利用結(jié)論：如果可微函數(shù)列 ? ?()nfx 在 ? ?,ab 上收斂于 ()fx，且 ? ?39。 (ii)when on the uniform convergence if and only if in uniform convergence This paper aimed to the convergent series expressed by function terms discriminant method carries on the prehensive summary and exploration 黃岡師范學(xué)院本科學(xué)位論文 [第 3 頁，共 15 頁 ] Keywords: function series,uniform convergence 目 錄 第一章 緒論 …………………………………………… 1 引言 ……………………………………………… 1 定義 : .......................................................................1 函數(shù)項級數(shù)定義 ...........................................1 函數(shù)項級數(shù)一致收斂性的 定義 ....................1 函數(shù)項級數(shù)一致收斂的判定方法 ……………… 3 定理 1（柯西一致收斂準(zhǔn)則） ……………… 4 定理 2（余項判別法） ……………………… 4 定理 3（魏爾斯特拉斯判別法） …………… 5 定理 4（狄利克雷判別法） ………………… 5 定理 5（阿貝爾判別法） …………………… 6 定理 6………………………………………… 7 第二章 函數(shù)項級數(shù)的收斂判別方法應(yīng)用 ...............................8 XXXXXXX(論文題目 ) [第 4 頁，共 15 頁 ] 函數(shù)項級數(shù)的收斂判別法應(yīng)用 摘要： 函數(shù)項級數(shù)的收斂判別問題是函數(shù)項級數(shù)問題中最基本最重要的問題，在研究函數(shù)項級數(shù)收斂的問題時可借鑒一些數(shù)項級數(shù)的方法，本文對函數(shù)項級數(shù)的收斂判別方法及其應(yīng)用做 了全面細(xì)致的闡述 關(guān)鍵詞： 函數(shù)項級數(shù)、收斂判別 1 引言 函數(shù)項級數(shù)作為數(shù)項級數(shù)的推廣 ,在研究內(nèi)容上同數(shù)項級數(shù)有許多極其相似的地方 ,比如它們的收斂性、和的問題 ， 但函數(shù)項級數(shù)還有一點不同于數(shù)項級數(shù) ,就是關(guān)于它的一致收斂性 。 稱 )()(1 xuxsnk kn ???， ,Ex? n=1,2, .? 為函數(shù)項級數(shù)的部分和函數(shù)列。 例 1 考察級數(shù) )0(1 2 ?????? ? xexn nx 的一致收斂性 分析 ：由于函數(shù)項級數(shù)的一致收斂性要歸結(jié)到它的和函數(shù)列的一致收斂性上。 證明 : 由等比級數(shù)求和公式知當(dāng) 0?x 時 xn nx exexxS ???? ??? ? 1)( 212 ， 對任意 n ， xnxnkkxn eexexxSxS ?????? ????? ? 1)()( 212 下面證明此函數(shù)列是一致收 斂于零的。 于是對所有自然數(shù) ),0(, ??xn ，有 XXXXXXX(論文題目 ) [第 6 頁，共 15 頁 ] ????? ??? xnxx exeex 11 22 ， 而當(dāng) ???x? 時，由 xex? 知，當(dāng) 2?n 時 )(0111 )2()2(2 ???????? ???????? neeeeeex nxxnnxx ?? 于是 nxx eex ???12 在 ???x? 地一致收斂于零，因此存在 N ，當(dāng) Nn? 時，對所有? ???? ,?x 有 ??? ???? ???? nnxx eexeex 11 22 這樣當(dāng) Nn? 時，對所有 ???x0 ，有 ???? ?????? xnxnkkx eexex 1 22 ，因此級數(shù) ????12nnxex 在???x0 上一致收斂。 例如我們 在數(shù)學(xué)分析的課本 中 , 也介紹了用阿貝爾判別法和狄利 克雷判別法 掌握 解答級數(shù) 的問題 , 以下介紹 級數(shù)收斂性理論中阿貝爾判別法和狄利 克雷判別法及魏爾斯特拉斯判別法 : 設(shè)函數(shù)項級數(shù) )(xun? 定義在數(shù)集 D上， ?nM 為收斂的正項級數(shù)，若對一切x D? ,有 | )(xun |? nM ， n=1， 2 ,? 則函數(shù)項級數(shù) )(xun? 在 D 上 一致收斂 . 證明 ： 假設(shè)正項級數(shù) ?nM 收斂，根據(jù)數(shù)項級數(shù)的柯西準(zhǔn)則，任給正數(shù) ? ，存在某正整數(shù) N ，使得當(dāng) nN 及任何正整數(shù) p,有 | pnn MM ?? ???1 |= ???? ?? pnn MM ?1 又對一切 Dx? 有 | )()(1 xuxu pnn ?? ?? ? | |)(||)(| 1 xuxu pnn ?? ??? ? ????? ?? pnn MM ?1 根據(jù)函數(shù)項級數(shù)一致收斂的柯西準(zhǔn)則，級數(shù) )(xun? 在 D 上一致收斂 定理 2 （ 阿貝 爾判別法 ） (1) )(xun? 在區(qū)間 I 上一致收斂 。 證明 ：由（ 1），任給 ,0?? 存在某正數(shù) N,使得當(dāng) nN 及任何正整數(shù) P，對一切 Ix? ，有 | )()(1 xuxu pnn ?? ?? ? |? XXXXXXX(論文題目 ) [第 8 頁，共 15 頁 ] 又由（ 2）（ 3）及阿貝爾引理得 : .3|))(|2|)((||)()()()(|111 ?Mxvxv xvxuxvxupnnpnpnnn ??? ???????? ? 于是根據(jù)函數(shù)項級數(shù)一致收斂的柯西準(zhǔn)則就得到定理的 結(jié)論。 定理 7 (對數(shù)判別法 ) 設(shè) nu (x) 為定義在數(shù)集 D 上正的函數(shù)列 ,若 )(ln )(lnlim xpn xu nn ???? 存在 ,則： (1) 若對 ? xD? ,p( x) p 1 , 則 函數(shù)項級數(shù) ???1 )(n n xu在 D 上一致收斂 。 證明 ： 由定理條件知 ,對 ? 0?? , ? N ,使得對 ? nN ,有 ()px?? ???? )(ln )(ln xpn xu n ，?? ?? ?? )()( 1)(1 xpnxp nxun 則當(dāng) ()px p1對 xD? 成立時 ,有pn nxu 1)( ?,而 p級數(shù)1pn? 當(dāng) p 1 時收斂 ,由優(yōu)級數(shù)判別法知函數(shù)項級數(shù)???1 )(n n xu 在 D上一致