數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)經(jīng)典例題大全-閱讀頁
2025-01-29 02:39本頁面
【正文】 ，由于 于是， ，因而， 。3 設(shè)且滿足，定義，證明：絕對(duì)收斂。證明: 利用微分中值定理，則 其中在與之間。3 設(shè)在單調(diào)遞減，收斂，證明： 。證明：對(duì)任意的h0, 則 ，類似的思想方法得， ，利用的收斂性和極限的夾逼定理既得結(jié)論。3 1）、設(shè)收斂，證明收斂； 2）、討論級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂性。由于 ，且利用積分判別法可以證明：收斂，因而，由比較判別法，則收斂。首先證明原級(jí)數(shù)的收斂性。其次，考慮絕對(duì)級(jí)數(shù)的收斂性。注、上述方法是處理這類題目的典型處理方法，特別要掌握三角函數(shù)的部分和公式： ， ，因此，成立 。我們知道，當(dāng)p1時(shí)收斂，當(dāng)時(shí)發(fā)散，p＝1是臨界指標(biāo)，并且我們知道，級(jí)數(shù)是否收斂和通項(xiàng)收斂于0的速度有關(guān)，因此，上述幾個(gè)結(jié)論表明，的通項(xiàng)收斂于的速度不能保證級(jí)數(shù)的收斂性，分母上貢獻(xiàn)一個(gè)因子lnn后，仍不足以保證級(jí)數(shù)的收斂性，但是，一旦這個(gè)因子的冪次大于1，級(jí)數(shù)就收斂了，因而，p＝1也是的臨界指標(biāo)。分析 這是抽象級(jí)數(shù)斂散性的判別，通過已知級(jí)數(shù)和待研究級(jí)數(shù)的形式可以看出，借助部分和可以將它們聯(lián)系起來，因而用定義法判別其收斂性。下面兩個(gè)例子與例18結(jié)構(gòu)相同，處理方法與例18類似。證明：設(shè)、的部分和分別為，則，故 ，因此，收斂。證明：記的部分和為，則 取極限即可得到結(jié)論。注、同樣，在、都收斂的條件下，也收斂。例21 設(shè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)發(fā)散，為其部分和，證明：發(fā)散。證明：考察其Cauchy片段 因?yàn)?，故?duì)任意n，存在p0，使得，因此，故，發(fā)散。其中仍是級(jí)數(shù)的部分和。下證 當(dāng)p1時(shí)，收斂。注、當(dāng)p=2時(shí)，利用下式有更簡單的證明方法： 而用定義可以證明級(jí)數(shù)收斂。3 設(shè)是收斂的正項(xiàng)級(jí)數(shù)，為余和，則級(jí)數(shù)當(dāng)p1時(shí)收斂。證明：由于收斂，故有。當(dāng)p=1時(shí)，考察其Cauchy片段 故 發(fā)散。當(dāng)p1時(shí)， 由于，而；另一方面，故，由于 收斂于（部分和方法），故此時(shí)，收斂。 若正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂，則存在收斂的正項(xiàng)級(jí)數(shù)，使得，即對(duì)任意收斂的正項(xiàng)級(jí)數(shù)，存在比其收斂更慢的收斂的正項(xiàng)級(jí)數(shù)。分析 由于構(gòu)造的級(jí)數(shù)的通項(xiàng)必須滿足，而從條件中，相應(yīng)的信息只有余和，這是我們的出發(fā)點(diǎn)。取，則其部分和，故收斂。 4 設(shè)正項(xiàng)數(shù)列單調(diào)遞減且發(fā)散，證明：的收斂性。證明：由于正項(xiàng)數(shù)列單調(diào)遞減，因而，必收斂，設(shè)其極限是a，則，由于發(fā)散，則利用Leibniz級(jí)數(shù)的性質(zhì)，必有，利用極限性質(zhì)，則存在N,使得nN時(shí)， ，故， ，由比較判別法，則收斂。分析 從結(jié)論形式看，要處理的級(jí)數(shù)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)是：通項(xiàng)為乘積形式的抽象級(jí)數(shù)，我們知道處理這類級(jí)數(shù)有兩個(gè)判別法，但是，結(jié)論的基礎(chǔ)是Abel變換，因此，當(dāng)不能直接由定理得到結(jié)論時(shí)，就要考慮用其思想方法了。利用Abel變換級(jí)數(shù)，時(shí)，則 ＝ 又，利用插項(xiàng)方法， ，因而， ，于是，由Cauchy收斂準(zhǔn)則，收斂。解：當(dāng)，故因，故發(fā)散，因此原級(jí)數(shù)發(fā)散。解：因?yàn)楣省?判別級(jí)數(shù)的收斂性。4判別級(jí)數(shù)的收斂性。當(dāng)時(shí)，取使得，則由于當(dāng)n充分大時(shí)由收斂，故收斂。 (2) 當(dāng)時(shí), .證明: (1) 級(jí)數(shù)的部分和,而 , 故級(jí)數(shù)發(fā)散.(2) 級(jí)數(shù)的部分和,故 .67． 設(shè)，證明：如果級(jí)數(shù)收斂，則級(jí)數(shù)與級(jí)數(shù)都收斂．證 1）先證收斂：因級(jí)數(shù)收斂，則，故當(dāng)充分大時(shí)，因而，由比較判別法知級(jí)數(shù)收斂．2）證收斂：因 ，且和均收斂，所以由比較判別法知級(jí)數(shù)收斂． 68． 應(yīng)用級(jí)數(shù)理論證明極限： （1） ；（2） .分析 如果級(jí)數(shù)收斂，則，這個(gè)結(jié)果稱為級(jí)數(shù)收斂的必要條件．把數(shù)列的通項(xiàng)看成某級(jí)數(shù)的通項(xiàng)，而對(duì)此級(jí)數(shù)的收斂性的判別又較容易，則由級(jí)數(shù)收斂的必要條件，立即得出數(shù)列的極限．證 （1）考慮級(jí)數(shù)， 由于，所以級(jí)數(shù)收斂，由級(jí)數(shù)收斂的必要條件知． （2）考慮級(jí)數(shù)，由于所以級(jí)數(shù)收斂，由級(jí)數(shù)收斂的必要條件即知 ．69．證明：若收斂，則收斂．分析 這是一個(gè)抽象的數(shù)列和級(jí)數(shù)，且條件類型相當(dāng)于知道相鄰兩項(xiàng)的估計(jì)，由此可得任意兩項(xiàng)差的估計(jì)，故考慮用Cauchy收斂準(zhǔn)則．證明：由于收斂，則由Cauchy收斂準(zhǔn)則，對(duì)，存在，當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的正整數(shù)，成立，因而， ，再次用數(shù)列收斂的Cauchy收斂準(zhǔn)則得：收斂．70．設(shè)收斂且，證明：．證明：記的部分和為，則 取極限即可得到結(jié)論．注．從證明過程中發(fā)現(xiàn)，除去定量關(guān)系，上述結(jié)論的逆也成立，即在條件下若收斂，則也收斂．同樣，在，都收斂的條件下，也收斂．71. 判斷斂散性．解 利用函數(shù)泰勒展開 故， ，因而，該級(jí)數(shù)收斂．
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