數(shù)項級數(shù)經(jīng)典例題大全-在線瀏覽
2025-03-03 02:39本頁面
【正文】 因此, 當時, 。 時, 級數(shù)成為, 發(fā)散.1 判斷級數(shù)的斂散性 . 注: 對正項級數(shù)，若僅有，其斂散性不能確定. 例如對級數(shù) 和 , 均有 ，但前者發(fā)散, 后者收斂.1 研究級數(shù) 的斂散性 . 解 .1 判斷級數(shù)和的斂散性 . 解 前者通項不趨于零 , 后者用根值法判得其收斂 .1 討論 級數(shù)的斂散性.解 考慮函數(shù)0時在區(qū)間 上非負遞減. 積分當時收斂, 時發(fā)散級數(shù)當時收斂,當時發(fā)散,當時, , 級數(shù)發(fā)散.綜上,級數(shù)當且僅當時收斂.1 判別級數(shù)的斂散性.解 當時, 由Leibniz判別法收斂。證明：由于收斂，因而，收斂于0，故，存在N，使得nN時， ，因而，nN時，故，由比較判別法得： 收斂。證明：由于收斂，則由Cauchy收斂準則，對，存在N， 當nN時，對任意的正整數(shù)p，成立，因而， ，再次用數(shù)列收斂的Cauchy收斂準則得：收斂。分析 證明級數(shù)的發(fā)散性，首選工具是級數(shù)收斂的必要條件。判斷下列具體級數(shù)的斂散性 1； 2； ； 4； ； 解、1）、 不收斂于0，此時，級數(shù)發(fā)散；時， ，由比較判別法得收斂。由于對任意的p0,故 ，由比較判別法可知：發(fā)散。記，則 ，故，該級數(shù)發(fā)散。記，則 ，故，由Cauchy判別法知該級數(shù)收斂。記，則 ，故，該級數(shù)發(fā)散。記，則 ，故，該級數(shù)收斂。 1）、 2）、 3）、分析 通項為積分形式的級數(shù)斂散性的判別，通常有3種方法：利用積分判別法，轉化為廣義積分的斂散性，此時通項常具有形式 遞增趨于。通過對積分進行估計，用比較判別法判斷，此時通項常具有形式，其中單減趨于0。解：1）、從類型看，適用于第一種方法。2）、典型的第3種方法處理的題型。上述可以視為結構特征分析，知道了結構特征，具體的驗證方法可以靈活選擇，下面的方法屬于直接比較法。當然，用比較方法的極限形式更直接，如 由于 ，因而，原級數(shù)收斂。3）、與2）類似，當n充分大時，故收斂。2判斷斂散性 1）、 2）、分析 典型的積分判別法處理的題型結構。2）、分析結構特點，由積分判別法 發(fā)散，故原級數(shù)發(fā)散。 2判斷斂散性 1）、 ； 2）；3）、。注意，展開過程中選擇適當?shù)恼归_項。由于 故級數(shù)應該收斂。2）、類似，由于，故，該級數(shù)收斂。2 設，且，證明收斂。 證明：任取，在此點展開，則 ，其中在x和之間，利用條件，則 于是， ，取，x＝n－1，則 ，因而， ，由于，故，正項級數(shù)滿足， ，因而，收斂。分析 采用標準的方法可以證明方程存在唯一的根，剩下的工作就是對根作估計，從方程中很容易得到所要求的估計。 顯然，根滿足方程，于是， ，因而， ，由此得， 故，收斂。分析 研究級數(shù)的斂散性，其本質還是考察其通項是否收斂于0以及收斂于0的速度，因此，必須利用掌握的結論對通項進行結構分析，挖掘其結構特征，即用最簡單直觀的形式反映出通項收斂于0的特性，從而確定相關的對比級數(shù)。事實上，由于有推廣的結論為，其中，注意到，因而 ，至此，我們了級數(shù)的結構特征。證明：記，為考察數(shù)列的極限，將離散變量用連續(xù)變量x代替，引入相應函數(shù) 計算函數(shù)極限的有效工具就是L‘Hospital法則，由于函數(shù)結構較為復雜，涉及到冪指函數(shù)，直接計算極限仍很困難，我們利用求導方法，考察如下的極限： ，故， ，因而， ，因此，與具有相同的斂散性，即當p1時收斂，當時發(fā)散。2 設正項級數(shù)發(fā)散，證明： 。證明：記，則，因而，由Stolz定理， 。分析 從題型上看，問題1是用單調收斂定理來解決，問題2的解決相對簡單，只需對通項進行簡單的性質分析即可。容易驗證，因此，利用上述的單調性，可以歸納證明單調遞增，顯然， ，因而，利用單調有界收斂定理，收斂，設其收斂于a，則 舍去負根，得。 證明：，當時收斂，時發(fā)散。有了上述的分析，具體的證明就很簡單了。3 設收斂，證明 。我們在從條件入手，分析進一步的信息。證明：記級數(shù)的部分和為且收斂于，則由Stolz定理，
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