數(shù)項級數(shù)經(jīng)典例題大全-展示頁
2025-01-23 02:39本頁面
【正文】 增。2 如下構(gòu)造數(shù)列：，證明： 1）收斂，并求其極限；2）、收斂。分析 從所給的條件中，我們得到的信息只有，從要證明的結(jié)論形式中可以發(fā)現(xiàn)，此條件下的結(jié)論極限形式用Stolz定理處理。 注、也可以用Taylor展開式進(jìn)行階的比較：由于， ， ，因而。證明過程就是利用各種技術(shù)手段驗證上面的結(jié)構(gòu)特征。對本例，其結(jié)構(gòu)和重要的極限公式結(jié)構(gòu)類似，從而利用這個已知的結(jié)論尋找結(jié)構(gòu)特點。2 設(shè)，討論的斂散性。證明：1）、記，則 ，且，因而，方程存在唯一的根。2給定方程，其中n為正整數(shù)，證明： 1）、方程存在唯一的正實根； 2）、對任意的p1，收斂。分析 這是一個正項級數(shù)，從所給條件看，需借助Taylor展開研究函數(shù)的性質(zhì)，利用展開式得 我們試著從上式中分析的性質(zhì)，顯然 ，估計，則 ，為估計，需削去，注意到要估計的量的形式為，因此，可取x＝n－1，由此得到一個估計式， ，注意到右端是相鄰兩項差的形式，由此可以得到一個和式估計， 左端正是級數(shù)的部分和，注意到函數(shù)給定的性質(zhì)，至此問題已經(jīng)解決。3）、利用函數(shù)展開則 故， ，因而，該級數(shù)收斂。驗證這個事實：由于 ，且收斂，故原級數(shù)收斂。解：1）、先作“階”的分析。分析 這類題目較難，因為所用到的是分析學(xué)中最難的“階”的比較或函數(shù)展開理論。事實上，由于 ，故，和具有相同的斂散性，由于，因而，由積分判別法，原級數(shù)發(fā)散。解：1）、由于，因此，由積分判別法，該級數(shù)發(fā)散。或者計算方法 或者 ，都可以得到級數(shù)的收斂性。 注、我們選擇作為對比級數(shù)，是由于結(jié)構(gòu)特征分析為選擇判斷標(biāo)準(zhǔn)提供了依據(jù)，而數(shù)列極限的連續(xù)化處理使得我們能夠利用高級的極限計算方法如L’Hospital法則。對充分大的n，當(dāng)時，故 ，且級數(shù)收斂，因而，原級數(shù)收斂。由于積分上限趨于0，考察被積函數(shù)在0點附近的性質(zhì)，由于時，因而， ，故此級數(shù)應(yīng)收斂。此級數(shù)與廣義積分具相同的斂散性，由于 收斂，因而由比較方法，收斂，故，該級數(shù)也收斂。在上述3種方法中，常用3兩種方法，這是考點。直接計算積分轉(zhuǎn)化為一般形式的數(shù)項級數(shù)。2判斷下列具體級數(shù)的斂散性。6）、用Cauchy判別法。5）、由通項結(jié)構(gòu)可知用D’Alembert判別法。4）、由通項結(jié)構(gòu)為n冪次形式，采用Cauchy判別法。3）、通項含有階層形式，故采用比值判別法。 分析結(jié)構(gòu)，發(fā)現(xiàn)對比級數(shù)為的形式，只需比較通項收斂于0的速度。分析 對具體的級數(shù)，按照判別斂散性的一般程序，先考察通項的極限，在通項極限為0的情形下，考慮比較判別法，常用的作為比較的級數(shù)的形式為、通過對通項的結(jié)構(gòu)分析，選擇合適的對比級數(shù)，此時，已經(jīng)學(xué)習(xí)過的數(shù)列的速度關(guān)系或階的關(guān)系，有利于我們確定對比級數(shù)；對通項中含有n冪次或n！形式的級數(shù)常用Cauchy判別法或D’Alembert判別法，更復(fù)雜的題目則需選用更精細(xì)的判別法。證明：由于收斂，故，因而， ，故，發(fā)散。1若收斂，則發(fā)散。1證明：若收斂，則收斂。當(dāng)時, 通項, 發(fā)散.1 和 對收斂.證 ，時，.可見時, 級數(shù)的部分和有界. 由Dirichlet判別法推得級數(shù)收斂 . 同理可得級數(shù)數(shù)收斂 .1若收斂，證明也收斂。 時, 。當(dāng)時, , , 級數(shù)發(fā)散 。第十二章 數(shù)項級數(shù)1 討論幾何級數(shù) 的斂散性.解 當(dāng)時, . 級數(shù)收斂。當(dāng)時, 級數(shù)發(fā)散 。當(dāng)時, , , 級數(shù)發(fā)散 .綜上, 幾何級數(shù) 當(dāng)且僅當(dāng) 時收斂, 且和為 ( 注意從0開始 ).2 討論級數(shù) 的斂散性. 解 用鏈鎖消去法求.3 討論級數(shù)的斂散性.解 設(shè) , , , . , . 因此, 該級數(shù)收斂. 討論級數(shù)的斂散性.解 , . 級數(shù)發(fā)散. 證明級數(shù) 收斂 .證 , 則當(dāng) 時,有注: 應(yīng)用Cauchy準(zhǔn)則時，應(yīng)設(shè)法把式 ||不失真地放大成只含而不含的式子，令其小于，確定. 判斷級數(shù)的斂散性. (驗證 . 級數(shù)判斂時應(yīng)首先驗證是否滿足收斂的必要條件) 證明調(diào)和級數(shù)發(fā)散. 證法一 (用Cauchy準(zhǔn)則的否定進(jìn)行驗證) 證法二 (證明{}. 即得，. )注: 此例為但級數(shù)發(fā)散的例子. 考查級數(shù)的斂散性 .解 有 判斷級數(shù) 的斂散性.解 . 討論級數(shù)的斂散性. 解 因為.
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