函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂判別法探究_畢業(yè)論文-展示頁(yè)
2024-09-06 17:25本頁(yè)面
【正文】 ， 結(jié)合數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)比式判別法和根式判別法 ,可以得到 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂性的比式判別法和根式判別法 ,同時(shí)我們還 可得到函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂性的對(duì)數(shù)判別法 、積分判別法 . 定理 5 （ 比式判別法 ） 黃岡師范學(xué)院本科學(xué)位論文 [第 9 頁(yè)，共 15 頁(yè) ] 設(shè) ()nux為定義在數(shù)集 D上的函數(shù)列，且 ( ) 0nux? ， n=1,2,……,記 1()()()nn nuxqx ux??， 存在正整數(shù) N及實(shí)數(shù) q,M,使得 ( ) 1nq x q??，()Nu x M? ， 對(duì)任意的 nN, xD? 成立，則函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)1 ()nn ux???在D上一致收斂 . 證明 : 易見 nu (x)= )()( )()( )()( )( 1211 xuxuN xuxu xuxu xu NNnnn n ?? ???? ? = )()()()( 21 xuxqxqxq NNnn ?? ?? ? Mq Nn 1??? 而等比級(jí)數(shù) ?????NnNn Mqq 1 當(dāng)公比 0 q 1 時(shí)收斂 ,從而由 M判別法知 ,???1 )(n n xu在 D 上一致收斂 . （極限形式）設(shè) nu (x) 為定義在數(shù)集 D 上正的函數(shù)列 ,記)( )()( 1 xu xuxq nnn ?? ， 若 1)()(lim ????? qxqxq nn 且 nu (x) 在 D 上一致有界 ,則函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) ???1 )(n n xu在 D上一致收斂 . 定 理 6 (根式判別法 ) 設(shè) nu ( x) 為定義在數(shù)集 D上的函數(shù)列 ,若存在正整數(shù) N ,使得 1|)(| ?? qxun n ，對(duì) ? nN ,x∈ D 成立 ,則函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)???1 )(n n xu 在 D上一致收斂 . XXXXXXX(論文題目 ) [第 10 頁(yè)，共 15 頁(yè) ] 證明 : 由定理?xiàng)l件 ,| nu (x)| ≤ nq ， 對(duì) ? nN,x∈ D 成立 ,而幾何級(jí)數(shù) Σ nq 收斂 ,由優(yōu)級(jí)數(shù)判別法知 ,函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) ???1 )(n n xu在 D 上一致收斂 .（注 :當(dāng)定理 6 條件成立時(shí) ,級(jí)數(shù) ???1 )(n n xu在 D上收斂且絕對(duì) 收 斂） （極限形式） 設(shè) nu (x) 為定義在數(shù)集 D 上的函數(shù)列 ,若1)(|)(|li m ????? qxqxun nn ，對(duì) ? x ∈ D成立 ,則函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在 D 上一致收斂 。 (2)對(duì)于每一個(gè) )}({, xvIx n? 是單調(diào)的； (3) )}({ xvn 在 I 上一致有界，即對(duì)一切 Ix? 和正整數(shù) n，存在正數(shù) M,使得 ,|)(| Mxvn ? 則級(jí)數(shù)在 I 上一致收斂。 定義 1： 設(shè) )(xun ，（ .2,1 ??n ）都是在數(shù)集 D 上由定義的函數(shù)，若存在一個(gè)在 D上由定義的函數(shù) S(x),對(duì)任意的 0?? ，存在自然數(shù) N,使得當(dāng) nN 時(shí)，對(duì)一切 Dx? 均有 | )()(1 xsxuk k ????|〈 ? 則稱函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) )(1 xun n???在數(shù)集 D 上一致收斂于 S(x). 3 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂的判定方法 下面將給出一些判別函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂的基本方法： 柯西一致收斂準(zhǔn)則，維爾斯特拉斯判別法 （ M 判別法），狄利克雷判別法，阿貝爾判別法 以及不常用的方法，例如： 兩邊夾判別法、比較判別法、單調(diào)判別法、一致 L 條件判別法、導(dǎo)數(shù)判別法、點(diǎn)列判別法這幾方面來介紹函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂的判別方法 . 常用判別方法 定理 1 （ 柯西 一致 收斂 準(zhǔn)則 ） 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) )(xun? 在數(shù)集 D 上一致收斂的充要條件：對(duì)任意的正數(shù) ? ，總存在某正整數(shù) N,使得當(dāng) nN 時(shí)，對(duì)一切 x D? 和一切正整數(shù) p,都有 | )()( xsxs npn ?? |? 黃岡師范學(xué)院本科學(xué)位論文 [第 7 頁(yè)，共 15 頁(yè) ] 或 | )()()( 21 xuxuxu pnnn ??? ??? ?|? 判別函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂性除了根據(jù)定義和柯西準(zhǔn)則外，有些級(jí)數(shù)還可以根據(jù)級(jí)數(shù)各項(xiàng)的特征來判定。 由于 01lim 20 ?? ?? xx ex ，所以 xexxf ??? 1)( 2 在 10 ??x 有界且對(duì)于任意給定的 0?? ，存在 0?? ，當(dāng) ),0( ??x 時(shí)，有 ????xex12 。所以我們首先要求出它的和函數(shù)列，由等比級(jí)數(shù)求和公式知當(dāng) 0?x 時(shí)，xn nx exexxS ???? ??? ? 1)( 212 ，對(duì)于任意 n ，由于 xnxnnkxn eexexxSxS ?????? ???? ? 1)()( 212 因此級(jí)數(shù)的一致收斂性等價(jià)于函數(shù)列xnxeex ???12 對(duì)區(qū)間 )0( ???x 的一致收斂于零。 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂的定義 黃岡師范學(xué)院本科學(xué)位論文 [第 5 頁(yè)，共 15 頁(yè) ] 若函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) ???1 )(n n xu的部分和函數(shù)列 ? ?)(xSn 在數(shù)集 D 上一致收斂于 )(xS ，則稱函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) ???1 )(n n xu在 D 上一致收斂于 )(xS 或稱 ???1 )(n n xu在 D 上一致收斂 . 我們可以看到，函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) ???1 )(n n xu的一致收斂性歸結(jié)到其部分和函數(shù)列 ? ?)(xSn的一致收斂性的研究上。 對(duì)比數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂性和函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性判別法 ,不難發(fā)現(xiàn) ,它們?cè)谂袛喾椒ㄉ蠘O其相似 ,特別是在它們判別法的名稱上 ,比如它們都有 Cauchy判別法、 Abel判別法等 . 對(duì)于函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性 ,有沒有類似于數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性判別的其它方法 ,是一個(gè)值得研究的課題 .函 數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 在一致收斂的條件下，可以討論 其 和函數(shù)的連續(xù)性、可微性以及可積性 .函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在一致收斂時(shí)，求和和求導(dǎo)、求和和求積分的順序可以交換順序 .并且，往往交換順序以后方便我們解決一些函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)中的基本問題 .這個(gè)應(yīng)用非常重要，因此，本文將對(duì)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂 判別 的 方法 進(jìn)行全面的 總結(jié) . 2 定義 ： 函數(shù)項(xiàng) 級(jí)數(shù)定義 定義 設(shè) {un (x)}是定義在數(shù)集 E 上的一個(gè)函數(shù)列，表達(dá)式 u1 (x)+u2 (x)+ ?? un (x) Ex?? ,? 稱為定義在 E 上的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，簡(jiǎn)記為 ???1 )(n n xu或 )(xun? 。 ( )nfx在? ?,ab 上一致收斂于 ()fx. 8 利用 Dini 定理（函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)和函數(shù)列均可用） 9 利用結(jié)論：設(shè)冪級(jí)數(shù)1nnn ax???的收斂半徑 0R? ，則 （ i）當(dāng)1nnn ax???或0 ()nnn a R?? ??收斂時(shí)，1nnn ax???在 ? ?0,R （或 ? ?,0R? ）上一致收斂； （ ii）當(dāng)1nnn ax???在 ? ?,RR? 內(nèi)一致收斂當(dāng)且僅當(dāng)1nnn aR???在 ? ?,RR? 上一致收斂 本文旨在對(duì)上述 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂判別的方法進(jìn)行全面的總結(jié)和探究 . 關(guān)鍵詞： 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)、 一致收斂 XXXXXXX(論文題目 ) [第 2 頁(yè)，共 15 頁(yè) ] Abstract Series expressed by function terms in the field of mathematics and en
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