【正文】 ,n 取 nnx 21? ，于是,21)( ?? nnnn xxs,0)( ?nxs但 1( ) ( ) .2n n ns x s x??從 而? 只要取21?? ，不論 n 多么大，在 ( 0 , 1 ) 總存在點 nx ，因此級數(shù)在 ( 0, 1 )內(nèi)不一致收斂． 說明 從下圖可以看出 但 雖然函數(shù)序列 nn xxs ?)( 在 ( 0, 1 )內(nèi)處處 ,0)( ?xs )(xsn 在 ( 0, 1 )內(nèi)各點處收 收斂于 斂于零的“快慢”程度是不一致的． ( ) ( ) .n n ns x s x ???使 得o xy (1,1) nn xxsy ?? )(1?n2?n4?n 10?n30?n1 1 ( 0 , )bb?注 意 ： 對 于 任 意 正 數(shù) ， 這 級 數(shù) 在 上一 致 收 斂 ．注意 : 一致收斂性與所討論的區(qū)間有關． 由于函數(shù)項級數(shù)的一致收斂性是由它的部分和函數(shù) 列來確定 , 所以由函數(shù)列一致收斂的定理，可推出相應的有關函數(shù)項級數(shù)一致收斂的定理 . 定理 ( 一致收斂的柯西準則 ) 函數(shù)項級數(shù) ()nux? 在數(shù)集 D 上一致收斂的充要條件為 : 對任 , 存在正整數(shù) ? N ,nN 時?給的正數(shù) ，使當 對一切 xD? ,p一切正整數(shù) 都有和 ? ??| ( ) ( ) | ,n p nS x S x ?或 ? ? ?? ? ? ?12| ( ) ( ) ( ) | .n n n pu x u x u x ?此定理中當 p=1 時 , 得到函數(shù)項級數(shù)一致收斂的一 個必要條件 . 推論 (函數(shù)項級數(shù)一致收斂的必要條件 ) 函數(shù)項級 數(shù) ? ()nu x D在 數(shù) 集 上 一 致 收 斂 的 必要條件是函數(shù) { ( )}nux D列 在 上一致收斂于零 . ( ) ( ) ,nu x D S x?設函數(shù)項級數(shù) 在 上的和函數(shù)為 稱( ) ( ) ( )nnR x S x S x??( ) .nux?為函數(shù)項級數(shù) 的余項定理 (余項法則 ) 函數(shù)項級數(shù) ()nux? 在數(shù)集 D 一致收 ()Sx斂于 的充要條件是li m su p | ( ) | li m su p | ( ) ( ) | x D x DR x S x S x? ? ? ???? ? ?0, [ , ] ( 1 )nnx a a a?????我們再來看例4 中的級數(shù) 若僅在上討論 , 則由 [ , ] [ , ]su p | ( ) ( ) | su p 1nnx a a x a axS x S xx? ? ? ?????? ? ? ?? 0 ( )1nana0[ , ] ( 1 , 1 )nnx a a可得級數(shù) 在 上一致收斂. 若在?????上討論這個級數(shù) , 則由 ? ? ? ????????? ? ????( 1 , 1 ) ( 1 , 1 )1su p | ( ) ( ) | su p111nnnxxnx nS x S xnxn??? ? ? ?? ? ??????( 1 ) ( )1nnnnn0( 1 , 1 )nnx????知道級數(shù) 在 內(nèi)不一致收斂.20( 1 )nnxx???? (0,1)例 9 討論函數(shù)項級數(shù) 在 上一致 收斂性 . 120( ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )nknnkS x x x x x??? ? ? ? ??所以 ( ) l i m ( ) ( 1 )nnS x S x x??? ? ? ，于是 | ( ) ( ) | ( 1 ) ,nnS x S x x x? ? ?由 1( ( 1 ) ) ( 1 ) 0n n nx x n x n x??? ? ? ? ? 解得最大值點 0 1nxn? ?, 故 解 [ 0 , 1 ]su p | ( ) ( ) |nxS x S x??因此 20( 1 )nnxx???? 在 (0,1)上一致收斂 . 注 當和函數(shù)容易求出時 , 余項準則是比較好用的一種判別方法 . 1 011nnnn??????????0n?1n?2n?() 1S x x??( ) ( ) ( )111nnS x x x?? ? ?xy 1 1 O圖 13 5 三、函數(shù)項級數(shù)的一致收斂判別法 判別函數(shù)項級數(shù)的一致收斂性除了根據(jù)定義、柯西 準則或余項準則外 , 有些級數(shù)還可以根據(jù)級數(shù)一般 項的某些特性來判別 . 定理 (魏爾斯特拉斯判別法，或優(yōu)級數(shù)判別法 ) ( ) ,nu x D定義在數(shù)集 上? nM?設函數(shù)項級數(shù) 為收 斂的正項級數(shù)， ,xD?若對一切 有| ( ) | , 1 , 2 , , ( 1 3 )nnu x M n??()nu x D?則函數(shù)項級數(shù) 在 上一致收斂.證 ,nM由假設正項級數(shù) 收斂 根據(jù)數(shù)項級數(shù)的柯 ?, 存在某正整數(shù) N, 使得當 n N 西準則 , 任給正數(shù) ?及任何正整數(shù) p, 有 11| | .n n p n n pM M M M ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?( 1 3 ) xD又由 式對一切 有 ?11| ( ) ( ) | | ( ) | | ( ) |n n p n n pu x u x u x u x? ? ? ?? ? ? ? ?根據(jù)函數(shù)項級數(shù)一致收斂的柯西準則 , 級數(shù) ()nux?在 D 上一致收斂 . 1 .n n pMM ???? ? ? ? 魏爾斯特拉斯 （ Weierstrass 18151897） 德國數(shù)學家。1( , ) 100 .nnx N xf x f x xex x n N xex x n N xex x n N xe?????? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?對 于 不 同 的 ， 相 應 的 就 很 不 一 樣 ,例 如 要 使在 處 , 只 要 就 行在 處 , 必 須 才 行在 處 , 則 必 須 才 行, { }0, , ( 0 , 1 ) ?nnxxn N x xxN?????能 否 找由 此 可 見 , 當 越 靠 近 原 點 收 斂 于 零 的 速 度 越快 . 那 么 對 任 意 給 定 的只 要 對 中 任到 一 個意 的 有的 都與 無呢關0001( 0 , 1 ),.ln( , ) [ ] 1 , (., ) ,ln.nnNn x xxn N x x N xxxN?? ? ???????? ? ? ? ?? 因 為 如 果 存 在 , 使 得 對 中 所 有 的 都成 立 , 那 么 取 便 得 到 的 矛 盾 實 際 上 在中 讓 就 得這 也 說 明 不 存 在這 樣 的與 無不 存 在關 的是 的1( ) , 1 , 2 , ....( 0 , 1 ) ( ) l i m ( ) 0.11| ( ) ( ) | ( 0 , 1 )( 0 , 1 ) ,11[ ] , , | ( ) ( ) |( 0 , 1 )1[ ] .nnnnnf x nnxx f x f xf x f xn x nxxN n N f x f xnxxNx??????????? ? ???? ? ? ? ??? 再 看 下 例 : 令對 中 任 意 的 都 有由 于 對 中 一切 的 都 成 立 , 因 此 , 對 任 意 只 要當 時對 中 所 有 的 都 成 立 . 顯 然 這 時 的 與 無 關( 0 , 1 ) ,0, { } ( 0 , 1 ) , ( , ) ,1。 或極限函數(shù)的導數(shù)或積分 , 是否分別是函數(shù)列 每項導數(shù)或積分的極限 . 對這些更深刻問題的討論 , 必須對它在 D上的收斂性提出更高的要求才行 . { ( ) } [ , ] ( ) ,[ , ]nf x a b f xab 設 函 數(shù) 列 在 上 收 斂 于 因 為中 有 無 窮 多 個 點 ， 就 意 味 著一 般 來 說 ， 這 些 數(shù) 列 收 斂 的 快 慢 是 不 一致 的 ， 有 的 收 斂有 無 窮 多 個 數(shù)得 快 些 ， 有列 收 斂 .些 慢 些 .00000[ , ] , ( , ) ,( ) ( ) | .nNx a b N N x n Nf x f x????? ? ?? ? ? ??? 用 語 言 來 說 ， ， 對 于 任 給 的存 在 正 數(shù) 當 時 ，總 有 |0000 0( , )()..,NNxxNxx?????? 這 里 的對 于不 僅 與 有 關 ， 也同 一 個 ， 不 同 的 所 要 求 的值 可 以 相與關差 很 大有( ) , 1 , 2 , .. . ( 0 , 1 ) ,( ) 0. 0 1 ,| ( ) ( ) | ,ln( , ) [ ] .lnnnnnf x x n xfxf x f x xn N xx??????? ? ?? ? ???例 1 中 對 于 中 每 個 點函 數(shù) 列 都 收 斂 于 對 于 要 使必 須100111022433( , )1| ( ) ( ) | ,1( , ) 10 。 Chapt 13 函數(shù)列與函數(shù)項級數(shù) 教學目標： 1. 熟練掌握函數(shù)列的一致收斂性； 2. 掌握一致收斂函數(shù)列與函數(shù)項級數(shù)的性質(zhì) . 對于一般項是函數(shù)的無窮級數(shù)，其收斂性要比數(shù)項級數(shù)復雜得多，特別是有關一致收斂的內(nèi)容就更為豐富，它在理論和應用上有著重要的地位 . 167。 1 一致收斂性 一、函數(shù)列及其一致收斂性 設 12, , , , ( 1 )nf f f是一列定義在同一數(shù)集 E 上的函數(shù) ,稱為定義在 E 上的函數(shù)列 . (1) 也可記為 ?{ } , 1 , 2 , .nnf f n或以 0xE? 代入 (1), 可得數(shù)列 1 0 2 0 0( ) , ( ) , , ( ) , . ( 2 )nf x f x f x0x 0x如果數(shù)列 (2)收斂 , 則稱函數(shù)列 (1)在點 收斂 , 稱 為函數(shù)列 (1)的收斂點 . 如果數(shù)列 (2)發(fā)散 , 則稱函數(shù) 列 (1)在點 0x 發(fā)散 . 當函數(shù)列 (1)在數(shù)集 上每一 DE?點都收斂時 , 就稱 (1)在數(shù)集 D 上收斂 . 這時 D 上每 x { ( )}nfx一點 都有數(shù)列 的一個極限值與之相對應 , 根據(jù)這個對應法則所確定的 D 上的函數(shù) , 稱為函數(shù) 列 (1)的極限函數(shù) . 若將此極限函數(shù)記作 f, 則有 l i m ( ) ( ) ,nn f x f x x D?? ??或 ( ) ( ) ( ) , .nf x f x n x D? ? ? ?N? ? xD?函數(shù)列極限的 定義 :