【正文】 方法訂正、計(jì)算圓周率 圓周長(zhǎng) 割圓術(shù)！ ? 極限思想： “割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣” ——?jiǎng)⒒? 割圓求周 三國(guó)時(shí)期，數(shù)學(xué)家劉徽應(yīng)用極限方法訂正、計(jì)算圓周率 圓周長(zhǎng) 割圓術(shù)！ ? 極限思想： “割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣” ——?jiǎng)⒒? 割圓求周 三國(guó)時(shí)期，數(shù)學(xué)家劉徽應(yīng)用極限方法訂正、計(jì)算圓周率 圓周長(zhǎng) 割圓術(shù)！ ? 極限思想： “割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣” ——?jiǎng)⒒? 割圓求周 三國(guó)時(shí)期，數(shù)學(xué)家劉徽應(yīng)用極限方法訂正、計(jì)算圓周率 圓周長(zhǎng) 割圓術(shù)！ ? 極限思想： “割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣” ——?jiǎng)⒒? 割圓求周 三國(guó)時(shí)期，數(shù)學(xué)家劉徽應(yīng)用極限方法訂正、計(jì)算圓周率 圓周長(zhǎng) 割圓術(shù)！ ? 極限思想： “割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣” ——?jiǎng)⒒? 割圓求周 三國(guó)時(shí)期，數(shù)學(xué)家劉徽應(yīng)用極限方法訂正、計(jì)算圓周率 圓周長(zhǎng) 割圓術(shù)！ ? 極限思想： R討論圓內(nèi)接正多邊形與該圓周的關(guān)系 nl已知 圓內(nèi)接正多邊形的周長(zhǎng) 未知 的圓周長(zhǎng) l（ 1）在任何有限的過(guò)程中，即對(duì)任何確定的 n， 皆為 的 近似 值；（ 2）在無(wú)限的過(guò)程中，即當(dāng) n無(wú)限增大時(shí)， 無(wú)限接近于常數(shù) 的 精確 值 . nllnll 是 當(dāng) n無(wú)限增大時(shí)的極限 nll圓面積亦如此 . 量變和質(zhì)變既有區(qū)別又有聯(lián)系，兩者之間有著辯證的關(guān)系。 ； 。 無(wú)限與有限有本質(zhì)的不同，但二者又有聯(lián)系，無(wú)限是有限的發(fā)展。 與一切科學(xué)的思想方法一樣，極限思想也是社會(huì)實(shí)踐的產(chǎn)物。如果要問(wèn)： “ 數(shù)學(xué)分析是一門(mén)什么學(xué)科 ?”那么可以概括地說(shuō)： “ 數(shù)學(xué)分析就是用極限思想來(lái)研究函數(shù)的一門(mén)學(xué)科 ” 。用極限思想解決問(wèn)題的一般步驟可概括為：對(duì)于被考察的未知量，先設(shè)法構(gòu)思一個(gè)與它有關(guān)的變量，確認(rèn)這變量通過(guò)無(wú)限過(guò)程的結(jié)果就是所求的未知量；最后用極限計(jì)算來(lái)得到這結(jié)果。要想對(duì)數(shù)學(xué)分析這門(mén)學(xué)科的實(shí)質(zhì)有一個(gè)真正的了解和掌握，就必須準(zhǔn)確掌握極限的概念和無(wú)窮小的分析方法。 Chapt 2 數(shù)列極限 極限的思想是近代數(shù)學(xué)的一種重要思想，數(shù)學(xué)分析就是以極限概念為基礎(chǔ)、極限理論(包括級(jí)數(shù) )為主要工具來(lái)研究函數(shù)的一門(mén)學(xué)科。 極限是構(gòu)筑微積分堅(jiān)實(shí)理論體系的基石。 所謂極限的思想，是指用極限概念分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的一種數(shù)學(xué)思想。 極限思想是微積分的基本思想，數(shù)學(xué)分析中的一系列重要概念，如函數(shù)的連續(xù)性、導(dǎo)數(shù)以及定積分等等都是借助于極限來(lái)定義的。整個(gè)數(shù)學(xué)分析自始至終都在討論各種極限的存在性以及求法等問(wèn)題，極限論可以看成是分析學(xué)與代數(shù)學(xué)的主要區(qū)別。極限的思想可以追溯到古代，劉徽的割圓術(shù)就是建立在直觀基礎(chǔ)上的一種原始的極限思想的應(yīng)用；古希臘人的窮竭法也蘊(yùn)含了極限思想，但由于希臘人“ 對(duì)無(wú)限的恐懼 ” ，他們避免明顯地 “ 取極限 ” ,而是借助于間接證法 ——?dú)w謬法來(lái)完成了有關(guān)的證明。無(wú)限個(gè)數(shù)的和不是一般的代數(shù)和，把它定義為 “ 部分和 ”的極限，就是借助于極限的思想方法，從有限來(lái)認(rèn)識(shí)無(wú)限的。 ，加深對(duì)數(shù)學(xué)的抽象性特點(diǎn)的認(rèn)識(shí)；體驗(yàn)數(shù)學(xué)概念形成的抽象化思維方法；體驗(yàn)數(shù)學(xué)“符號(hào)化”的意義及“數(shù)形結(jié)合”方法； ； . 教學(xué)目標(biāo)： 數(shù)列極限是整個(gè)數(shù)學(xué)分析最重要的基礎(chǔ)之一 ,它不僅與函數(shù)極限密切相關(guān) ， 而且為今后學(xué)習(xí)級(jí)數(shù)理論提供了極為豐富的準(zhǔn)備知識(shí) . 167。量變能引起質(zhì)變，質(zhì)和量的互變規(guī)律是辯證法的基本規(guī)律之一，在數(shù)學(xué)研究工作中起著重要作用。這就是借助于極限的思想方法，從量變來(lái)認(rèn)識(shí)質(zhì)變的。數(shù)學(xué)分析之所以能解決許多初等數(shù)學(xué)無(wú)法解決的問(wèn)題（例如求瞬時(shí)速度、曲線弧長(zhǎng)、曲邊形面積、曲面體體積等問(wèn)題），正是由于它采用了極限的思想方法。 天下篇 》 引用了 一句話 : “一尺之棰 , 日取其半 , 萬(wàn)世不竭” . 它的 意思是 : 一根長(zhǎng)為一尺的木棒 , 每天截下一半 , 這 21 1 1 1, , , , , .2 2 2 2nn??????或容易看出 : 數(shù)列 1122nn??????的通項(xiàng) 隨著 n 的無(wú) 限增 大而無(wú)限趨于 0 . 播放 定性分析： 當(dāng) n無(wú)限增大時(shí)， 無(wú)限趨近于 1，數(shù) 1即所謂 的“極限” . ?????? ?? ?nn 1)1(1?????? ?? ?nn 1)1(1定性分析： 當(dāng) n無(wú)限增大時(shí)， 無(wú)限趨近于 1，數(shù) 1即所謂 的“極限” . ?????? ?? ?nn 1)1(1?????? ?? ?nn 1)1(1定性分析： 當(dāng) n無(wú)限增大時(shí)， 無(wú)限趨近于 1，數(shù) 1即所謂 的“極限”。 ?????? ?? ?nn 1)1(1?????? ?? ?nn 1)1(1定性分析： 當(dāng) n無(wú)限增大時(shí)， 無(wú)限趨近于 1，數(shù) 1即所謂 的“極限”。 ?????? ?? ?nn 1)1(1?????? ?? ?nn 1)1(1定性分析： 當(dāng) n無(wú)限增大時(shí)， 無(wú)限趨近于 1，數(shù) 1即所謂 的“極限”。 ?????? ?? ?nn 1)1(1?????? ?? ?nn 1)1(1定性分析： 當(dāng) n無(wú)限增大時(shí)， 無(wú)限趨近于 1，數(shù) 1即所謂 的“極限”。 ?????? ?? ?nn 1)1(1?????? ?? ?nn 1)1(1定性分析： 當(dāng) n無(wú)限增大時(shí)， 無(wú)限趨近于 1，數(shù) 1即所謂 的“極限”。 ?????? ?? ?nn 1)1(1?????? ?? ?nn 1)1(1定性分析： 當(dāng) n無(wú)限增大時(shí)， 無(wú)限趨近于 1，數(shù) 1即所謂 的“極限”。 ?????? ?? ?nn 1)1(1?????? ?? ?nn 1)1(1定量分析： 無(wú)限趨近于 1是指： 當(dāng) n 充分大時(shí) , 能任意小，并保持任意小。,),(),(,21落在其外個(gè)至多只有只有有限個(gè)全位于這個(gè)鄰域內(nèi)項(xiàng)以后的所有項(xiàng)第總存在項(xiàng)鄰域?qū)θ我饨o定的NxxN，xaaaONNN?????? ????.??? ?????? axa，ax nn 得由定義3?Nx{ an } 的有限多項(xiàng) , 則稱數(shù)列 { an } 收斂于 a . 這樣 , { an } 不以 a 為極限的定義也可陳述為 :存在 ,00 ??之外含有 { an } 中的無(wú)限多 00()aa??使 得 在 ，??不以任何實(shí)數(shù) a 為極限 . 以上是定義 1 的等價(jià)說(shuō)法 , 寫(xiě)成定義就是 : 定義 139。( ?aU項(xiàng) . 注 { an }無(wú)極限（即發(fā)散）的等價(jià)定義為 : { an } 四、按定義驗(yàn)證極限 以說(shuō)明 , 希望大家對(duì) “ ? N ”說(shuō)法能 有正確的認(rèn)識(shí) . 例 1 用定義驗(yàn)證 : 1lim 0 .n n???分析 對(duì)于任意正數(shù) ,? 要使 1 0,n ? ? ?只要 .1??n證 對(duì)于任意的正數(shù) ? , 1 ,N ??? ?????取 ,nN?當(dāng) 時(shí)1 0,n ???所以 1l i m 0 .n n???為了加深對(duì)數(shù)列收斂定義的了解 , 下面結(jié)合例題加 li m 0 ( 0 | | 1 ) .nn qq?? ? ? ?例 2 用定義驗(yàn)證 分析 對(duì)于任意的正數(shù) ?, 要使 | 0 | ,nq ???只要 l o g .l o g | |n q??這就證明了 l i m 0 .nn q?? ?| 0 | .nq ???證 0 ( 0 1 ) ,??不 妨 設(shè)? ? ? ?,nN當(dāng) 時(shí) 有?l og ,l og | |N q?取 ???????22217 ,33 7 3 3 7nnn n n n???? ? ? ?（ ）7,n ?當(dāng) 時(shí) ,27 nn ?? 2 2 23 7 3 2 2 ,n n n n n? ? ? ? ?