數(shù)學(xué)分析函數(shù)極限無窮大量與無窮小量-展示頁
2024-09-01 12:13本頁面
【正文】 ??時(shí) 從而0 0li m ( ) 0, | ( ) | , ( ) .xx f x g x M x U x? ? ? ?設(shè) 對于任意返回 后頁 前頁 0( ) ( ) .f x g x x x?這 就 證 明 了 是 時(shí) 的 無 窮 小 量例如 : 時(shí)為時(shí)的無窮小量，為 01si n0 ?? xxxx.01sin 時(shí)的無窮小量為的有界量，那么 ?xxx.01si nlimlim1si nlim000?????? xxxxxxx應(yīng)當(dāng)注意 , 下面運(yùn)算的寫法是錯(cuò)誤的： | ( ) ( ) | .f x g x ??返回 后頁 前頁 xxy1s i n?從幾何上看，曲線 在 近旁發(fā)生無 0?x限密集的振動(dòng)，其振幅被兩條直線 xy ?? 所限制 . y O xxy?xxy1sin?xy ??返回 后頁 前頁 二、無窮小量階的比較 兩個(gè)相同類型的無窮小量，它們的和 、 差 、 積仍 ? ?? ? ? ? ? ?xgxfxxxgxfxx是關(guān)于時(shí)則稱，若 00l i 0???? ? ? ? .,0 均是無窮小量時(shí)，設(shè)當(dāng) xgxfxx ?出如下定義 . 兩個(gè)無窮小量之間趨于零的速度的快慢，我們給 這與它們各自趨于零的速度有關(guān) .為了便于考察 是無窮小量，但是它們的商一般來說是不確定的 . 返回 后頁 前頁 的高階無窮小量，記作.)())(()( 0xxxgoxf ??.)()1()( 0xxoxf ??.)0,0()(1 ???? kxxox kk。返回 后頁 前頁 二、無窮小量階的比較 167。 5 無窮大量與無窮小量 由于 等同于 因 0li m [ ( ) ] 0,xx f x A? ??0li m ( )xx f x A? ?分析 ” . 相同的 . 所以有人把 “ 數(shù)學(xué)分析 ” 也稱為 “ 無窮小 此函數(shù)極限的性質(zhì)與無窮小量的性質(zhì)在本質(zhì)上是 四、漸近線 三、無窮大量 一、無窮小量 返回返回 后頁 前頁 一、無窮小量 定義 1 內(nèi)有定義，的某鄰域在點(diǎn)設(shè) )( 00 xUxf ?? ? ,0l i m0?? xfxx若 .0 時(shí)的無窮小量為則稱 xxf ?為類似地可以分別定義 f.時(shí)的無窮小量和有界量.0 時(shí)的有界量xx ?0fx若 在 點(diǎn) 的 某 個(gè) 空 心 鄰 域 內(nèi) 有 界 ，則稱 f 為 , 00 ???? ?? xxxxx ?????? xx ,返回 后頁 前頁 顯然，無窮小量是有界量 .而有界量不一定是無窮 時(shí)的無窮小量；為 11 ?? xx例如 : 對于無窮小量與有界量，有如下關(guān)系： ；時(shí)的無窮小量為 ??? 11 2 xxsin 。)0()1(s i n ?? xox例如： 。 則稱 與 是 0xx ? 時(shí)的同階無窮小量 . )(xf )(xg返回 后頁 前頁 3. 若兩個(gè)無窮小量在 )( 0xU ? 內(nèi)滿足 : ,)( )( Lxg xf ?則記 ).())(()( 0xxxgOxf ??當(dāng) 0?x 時(shí)， x 與 ?????? ? xx 1s in2 是同階無窮小量 . ,)( 0 時(shí)的有界量時(shí)為 xxxf ?我們記 .)()1()( 0xxOxf ??應(yīng)當(dāng)注意，若 )(,)( xgxf 為 0xx ? 時(shí)的同階無 窮小量，當(dāng)然有 返回 后頁 前頁 .)())(()( 0xxxgOxf ??反之不一定成立 , 例如 .)0()(1si n ?? xxOxx但是這兩個(gè)無窮小量不是同階的 . 注意： 這里的 ))(()())(()( xgOxfxgoxf ?? 與)( 0xx ? 和通常的等式是不同的，這兩個(gè)式子的 右邊，本質(zhì)上只是表示一類函數(shù)．例如 ))(( xgo表示 的所有高階無窮小量的集合． )(xg)( 0xx ?返回 后頁 前頁 .)( )(~)( 0xxxgxf ?。)0(~a rc ta n ,1a rc ta nlim 0???xxxx xx所以因?yàn)閯t稱若 ,1)( )(lim .40?? xgxfxx 時(shí)的為與 0 )( )( xxxgxf ?等價(jià)無窮小量，記作 也就是說，這里的 “ =” 類似于 .”“?返回 后頁 前頁 .0)(21~c o s1 2 ?? xxx同樣還有根據(jù)等價(jià)無窮小量的定義，顯然有如下性質(zhì)： ),( )(~)( ),( )(~)( 00 xxxhxgxxxgxf ??若.1)( )(lim)( )(lim)( )(lim 000?????? xhxgxgxfxhxfxxxxxx前面討論了無窮小量階的比較 , 值得注意的是 , 并 .)( )(~)( 0xxxhxf ?那么 這是因?yàn)? 不是任何兩個(gè)無窮小量都可作階的比較 . 例如 返回 后頁 前頁 xxsin 與 21x 均為 ???x 時(shí)的無窮小量 , 卻不能 按照前面討論的方式進(jìn)行階的比較 . 這是因?yàn)? )(s i n1s i n2???? xxxxxx是一個(gè)無界量，并且 (2 π ) s in ( 2 π ) 0 .nn ?下面介紹一個(gè)非常有用的定理： 返回 后頁 前頁 定理 設(shè)函數(shù) f, g, h 在 )( 0xU ? 內(nèi)有定義 , 且 .)()(~)( 0xxxgxf ?。( 00 xUxUx ?? ?? ?G 0, 存在 ? 0，使得當(dāng) 則稱函數(shù)
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