等價(jià)無(wú)窮小量的性質(zhì)及推廣應(yīng)用-展示頁(yè)
2024-08-11 11:43本頁(yè)面
【正文】 0” 的使用。 無(wú)窮小量無(wú)限趨近于 0 而又不等于 0. 5 2) 無(wú)窮小量是變量 , 與它的變化過(guò)程密切相關(guān) ,且在該 變化過(guò)程中以零為極限 . 如函數(shù) 1x 當(dāng) x ?∞時(shí)的無(wú)窮小量 ,但當(dāng) x?1時(shí)不是無(wú)窮小量 . 3）兩個(gè)（相同類型）無(wú)窮小量之和、差、積仍為無(wú)窮小量 . 4）無(wú)窮小量與有界量的乘積為無(wú)窮小量 . 無(wú)窮小量的比較 1) 若存在正數(shù) K和 L,使得在某 0()oUx上有 ()()fxKLgx??,則稱 f 與 g 為當(dāng) 0xx? 時(shí)的 同階無(wú)窮小量 .特別當(dāng)0()lim ( 0 )()xxfx ccgx? ?? 則稱 ()fx與 ()gx是同階無(wú)窮小 . 2) 若 ()lim()fxgx=1, 則稱 ()fx與 ()gx是等價(jià)無(wú)窮小量 , 記為 ()fx～ ()gx. 3) 若 ()lim()fxgx= 0, 則稱 ()fx是 ()gx高階無(wú)窮小 , 記作 ()fx= ( ( ))ogx . 注 : 并不是任意兩個(gè)無(wú)窮小均可比較 , 如當(dāng) x→ 0 時(shí) , 1sinx x 與 2x 都是無(wú)窮小量 , 但它們不能進(jìn)行階的比較 . 等價(jià)無(wú)窮小量的重要性質(zhì) 設(shè) α,α′,β,β′,γ 等均為同一自變量變化過(guò)程中的無(wú)窮小 , ① 若 α ～ α′,β ～ β′ , 且 lim 39。??存在 ,則 lim??=lim 39。??（ 1 1 1 1 11 1 1 1 1l i m l i m ( . l i m . l i m . l i m l i m? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?）） ② 若 α ～ β ,β ～ γ ,則 α ～ γ . 性質(zhì) ① 表明等價(jià)無(wú)窮小量量的商的極限求法 .性質(zhì) ② 表明等價(jià)無(wú)窮小量的傳遞性 . 等價(jià)無(wú)窮小量性質(zhì)的推廣 ??1 α ～ α′,β ～ β′ , 且 lim?? =c(≠ 1),則 α+β ～ α′+β′ . 6 證明 因?yàn)? lim39。??????=11 139。 39。 1 39。39。39。39。39。39。 39。39。 39。AAAB BBAAABBB??? ? ???? ? ?? ? ?? ? ?????????, 又 α ～ α′,β ～ β′ ,于是 , 39。AABB????? ? ?, 39。AABB????? ? ? ?, 從而 39。AB????=1, 即 AB??? ～ 39。AB??? 同理可證 CD??? ～ 39。CD??? . 故命題得證 . (4) 設(shè)在自變量的某一變化過(guò)程中 , ()fx、 ()gx、 ()hx 及 1()fx、 1()gx、 1()hx都是無(wú)窮小量 . ① 若 ()fx～ 1()fx、 ()gx～ 1()gx、且 11()lim ()fxgx 存在且 11()lim 1()fxgx??,則有 ()fg? ～ 11()fg? . ② 若 ()fx～ 1()fx、 ()gx～ 1()gx、且 11()lim ()fxgx 存在且 11()lim 1()fxgx? ,則有 ()fg? ～ 11()fg? . ③ 若 ()fx～ 1()fx、 ()gx～ 1()gx、 ()hx ～ 1()hx且 11()lim ()fxgx 存在且 11()lim 1()fxgx??,則有 8 111limfgfghh?? ? . 證明 ① 因?yàn)? 11limfgfg?? = 11111lim 1gf ffgf ff??= 1111 (1 )lim 1(1 )gffgff??. 又因?yàn)? 11lim lim 1ffgg? ? ?, 故上式等于 1. ② 因?yàn)? 11limfgfg?? = 11111lim 1gf ffgf ff??= 1111 (1 )lim 1(1 )gffgff??. 又因?yàn)? 11lim lim 1ffgg??, 故上式等于 1. ③ 要證 111limfgfghh?? ? 成立 ,只需證 111lim 1hfgh f g? ?? ,因?yàn)? fg? ～ 11fg? , ()hx ～ 1()hx, 所以結(jié)論得證 . 性質(zhì)（ 1）、（ 3）的求極限中就使等價(jià)無(wú)窮小量的代換有了可能性 ,從而大大地簡(jiǎn)化了 計(jì)算 .但要注意條件 “l(fā)im ?? =c(≠ 1)” ,“ 39。ABCD????≠0” 的使用 . 注意 1）需要注意的是在運(yùn)用無(wú)窮小替換解題時(shí) ,等價(jià)無(wú)窮小量一般只能在對(duì)積商的某一項(xiàng)做替換 ,和差的替換是不行的 . 9 2）以上性質(zhì)說(shuō)明我們利用無(wú)窮小量的代換性質(zhì)將無(wú)窮小的等 價(jià)替換推廣到和與差的形式 ,并對(duì)的不定式極限的求解 作了簡(jiǎn)化 ,使其適用的函數(shù)類范圍擴(kuò)大 ,從而簡(jiǎn)化函數(shù)極限的運(yùn)算過(guò)程 ,對(duì)不定式極限的求解有很大的意義 . 4 等價(jià)無(wú)窮小量的應(yīng)用 等價(jià)無(wú)窮小量的應(yīng)用在馮錄祥老師的 171。、王斌老師的 171。、華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系的 171。、盛祥耀老師的 171。、馬振明老師和呂克噗老師的 171。、Shivakumar N, H. SCAM: A Copy Detection Mechanism for Digital Documents [A]. The 2nd International Conference in Theory and Practice of Digital Libraries[C]. USA Austin Texas: [s. n]以及 劉玉璉老師和傅沛仁老師的 171。中都有詳細(xì)的分析與注解 ,在這一部分我只是按照自己的需要從中選取內(nèi)容 ,再加上自己篩選例題解答例題寫出來(lái)的 .請(qǐng)看下面的內(nèi)容： 在求極限中經(jīng)常用到的等價(jià)無(wú)窮小量有 x ～ sinx ～ arcsinx ～ tanx ～ tanarc x ～ln(1 )x? ～ xe 1, 1 cosx? ～ 212x , 1xa? ～ lnxa,( x →0) . 例 1 求 202tanlim1 cosxxx? ?. 解 當(dāng) x →0 時(shí) ,1 cosx? ～ 212x , 2tanx ～ 2x . 原式 = 20 2412limxxx? = 8 .. 例 2 求30 tan sinli
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