【正文】 局限性 有關(guān)等價(jià)無(wú)窮小量?jī)?yōu)越性和等價(jià)無(wú)窮小量的性質(zhì)及性質(zhì)的推廣應(yīng)用的例題還有很多，本文探討了重要的一些例子，對(duì)于什么時(shí)候用等價(jià)無(wú)窮小量的性質(zhì)，什么時(shí)候用洛必達(dá)法則，什么時(shí)候有等價(jià)無(wú)窮小量和洛必達(dá)法則一起使用就沒(méi)有一一舉例了 。CD??? . 故命題得證 . (4) 設(shè)在自變量的某一變化過(guò)程中 , ()fx、 ()gx、 ()hx 及 1()fx、 1()gx、 1()hx都是無(wú)窮小量 . ① 若 ()fx～ 1()fx、 ()gx～ 1()gx、且 11()lim ()fxgx 存在且 11()lim 1()fxgx??,則有 ()fg? ～ 11()fg? . ② 若 ()fx～ 1()fx、 ()gx～ 1()gx、且 11()lim ()fxgx 存在且 11()lim 1()fxgx? ,則有 ()fg? ～ 11()fg? . ③ 若 ()fx～ 1()fx、 ()gx～ 1()gx、 ()hx ～ 1()hx且 11()lim ()fxgx 存在且 11()lim 1()fxgx??,則有 8 111limfgfghh?? ? . 證明 ① 因?yàn)? 11limfgfg?? = 11111lim 1gf ffgf ff??= 1111 (1 )lim 1(1 )gffgff??. 又因?yàn)? 11lim lim 1ffgg? ? ?, 故上式等于 1. ② 因?yàn)? 11limfgfg?? = 11111lim 1gf ffgf ff??= 1111 (1 )lim 1(1 )gffgff??. 又因?yàn)? 11lim lim 1ffgg??, 故上式等于 1. ③ 要證 111limfgfghh?? ? 成立 ,只需證 111lim 1hfgh f g? ?? ,因?yàn)? fg? ～ 11fg? , ()hx ～ 1()hx, 所以結(jié)論得證 . 性質(zhì)（ 1）、（ 3）的求極限中就使等價(jià)無(wú)窮小量的代換有了可能性 ,從而大大地簡(jiǎn)化了 計(jì)算 .但要注意條件 “l(fā)im ?? =c(≠ 1)” ,“ 39。 39。??????=11 139。BβCα177。比較審斂法 。性質(zhì) ② 表明等價(jià)無(wú)窮小的傳遞性若能運(yùn)用極限的運(yùn)算法則，可繼續(xù)拓展出下列 結(jié)論： ③ 若 α ～ α′,β ～ β′ ， 且 limβα=c(≠ 1)，則 α+β ～ α′+β′ 證明： ∵ limα+βα′+β′=lim1+βαα′α+β′α′=lim1+c1+αα′ 等價(jià)無(wú)窮小量的概念 定義 若函數(shù) (包括數(shù)列 )在 某變化過(guò)程中以零為極限 ,則稱該函數(shù)為這個(gè)變化過(guò)程中的無(wú)窮小量 . 如函數(shù) 2x , sinx, 1 cosx, ln(1+x)均為當(dāng) x→ 0 時(shí)的無(wú)窮小量 .對(duì)于數(shù)列只有一種情形 , 即 n→∞ , 如數(shù)列 { 1n } 為 n→∞時(shí)的無(wú)窮小量或稱為無(wú)窮小數(shù)列 . 注意： 1) 絕對(duì)值非常小的數(shù)不是無(wú)窮小量 , 0 是唯一的是無(wú)窮小量的數(shù) 。1 1 . .cc? ? ? ?? ? ? ????? 1lim 11 cc???? 所以 α+β～ α′+β′ . 而學(xué)生則往往在性質(zhì) (3)的應(yīng)用上忽略了 “l(fā)im ?? =c(≠ 1)” 這個(gè)條件 ,千篇一律認(rèn)為“α ～ α′,β ～ β′ ,則有 α+β ～ α′+β′ ??2 在同一變化過(guò)程中 , ()fx～ ()x? , ()gx ～ ()x? ,且 1()lim(1 ( )) xx ??? 存在 ,則 1()lim(1 ( )) gxfx? = 1()lim(1 ( )) xx ??? . 證明 因?yàn)? 1() l n (1 ( ) )l im (1 ( ) ) e x p ( l im )()gx fxfx gx??? = l n( 1 ( ) ) ( ) 1e xp ( l i m l n( 1 ( ) )l n( 1 ( ) ) ( ) ( )f x x xx g x x? ???? ?? = ln (1 ( ))ex p (lim )() xx??? = 1()lim(1 ( )) xx ??? . 故結(jié)論得證 . ??3 若 α ～ α′,β ～ β′ , 且 lim 39。l i m ( 1 ) l i m ( 1 ) 039。高等數(shù)學(xué) 187。 17 參 考 文 獻(xiàn) [1]同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系主編 .高等數(shù)學(xué) .第 5 版 [M].高等教育出版社 ,20xx,7 5659. [2]楊文泰 . 等價(jià)無(wú)窮小量代換定理的推廣 [J].甘肅高師學(xué)報(bào) ,20xx,10（ 2）： 1113. [3]王斌 .用羅比塔法則求未定式極限的局限性的探討 [J].黔西南民族師專學(xué)報(bào) ,20xx,12(4):1215. [4]尤曉琳 ,吳振芬 .極限 的等價(jià)無(wú)窮小替換研究 [J].河南教育學(xué)院學(xué)報(bào) (自然科學(xué)版 )20xx(3):46. [5]彭康青 ,馬振民 .用等價(jià)無(wú)窮小代換求極限 [J].甘肅高師學(xué)報(bào) ,20xx,14(5):9091. [6]馮錄祥 .關(guān)于等價(jià)無(wú)窮小量代換的一個(gè)注記 [J].伊犁師范學(xué)院學(xué) 報(bào) ,20xx(3): 2526. [7]段麗凌 ,楊賀菊 . 關(guān)于等價(jià)無(wú)窮小量替換的幾點(diǎn)推廣 [J].河北自學(xué)考試 ,20xx,(06):2022. [8]屈紅萍 ,趙文燕 .等價(jià)無(wú)窮小代換求極限的方法推廣 [J].保山學(xué)院學(xué)報(bào) ,20xx(02):5457. [9] 王強(qiáng) .無(wú)窮小量的階 [J].湘南學(xué)院學(xué)報(bào) ,20xx,34(3):7172. [10] 龔萍 . 等 價(jià) 無(wú) 窮 小 的 性 質(zhì) 及 其 運(yùn) 用 推 廣 [J]. 河 北 理 工 大 學(xué) 學(xué) 報(bào) ( 自 然 科 學(xué)版 ),20xx,31(03):102105. [11]張?jiān)葡?.高等數(shù)學(xué)教學(xué) [J].山西財(cái)政稅務(wù)專科學(xué)校學(xué)報(bào) ,20xx,(04):1519. [12]陳大橋 .等價(jià)無(wú)窮小代換在求極限中的常見(jiàn)應(yīng)用及推廣 [J].成都師范學(xué)報(bào) ,20xx,30(5):117119 [13] 張高明 ， 李權(quán) .等價(jià)無(wú)窮小的妙用舉例 河套學(xué)院學(xué)報(bào) [J].20xx,11(1):8891. [14] 蹇小平 .極限求解中等價(jià)無(wú)窮小量替換條件的推廣 [J]. 湖北民族學(xué)院學(xué)報(bào) (自然科學(xué)版 )20xx,29(3):