等價無窮小量的性質(zhì)及推廣應(yīng)用-資料下載頁
2025-07-21 11:43本頁面
【導(dǎo)讀】并充分利用好它的性質(zhì),往往會使一些復(fù)雜的問題簡單化,可起到事半功倍的效果,反之,深刻地認(rèn)識和理解,以便恰當(dāng)運用,達(dá)到簡化運算的目的.文獻(xiàn)[1]同濟大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系主編.高等數(shù)學(xué).楊文泰的文獻(xiàn)[2]. 都從不同程度上講解了等價無窮小的概念。彭康青,馬振民的文獻(xiàn)[5]，尤曉琳,吳振芬。方法；文獻(xiàn)[3]王斌對用羅比塔法則求未定式極限的局限性進行了探討。建議與方法，但系統(tǒng)性不強，比較零散，但在數(shù)學(xué)中，等價無窮小的應(yīng)用是很重要的。接導(dǎo)入，并通過相關(guān)例題說明其概念，性質(zhì)及其應(yīng)用。稱函數(shù)f當(dāng)x→x0時時為無窮小。α′,β～β′，且limα′β′存在，則limαβ=limα′β′②若α～β，β～γ，性質(zhì)①表明等價無窮小量的商的極限求法。性質(zhì)②表明等價無窮小的傳遞性若。limα+βα′+β′=lim1+βαα′α+β′α′=lim1+c1+αα′·βα·β′β
【正文】 解 原式 = 220 sec (sin ) co slim co s(ta n ) secx xx?? （用羅比塔法則） =0sin(tan )lim tan(sin )xxx??（分離非零極限乘積因子并算出非零極限） = 220 co s(ta n ) seclim sec (sin ) co sx xx??（用羅比塔法則） = 0tan(sin )lim sin(tan )xxx??. 出現(xiàn)循環(huán) ,此時用羅比塔法則求不出結(jié)果 .怎么辦？用等價無窮小量代換 . 因為 x～ sinx～ tanx(x→0) 15 所以 ,原式 = 0limxxx?? =1而得解 . 例 11 求 220 1lim ( cot )x xx? ? 解 原式 = 22220 tanlim tanx xxxx? ? 40 ( ta n ) ( ta n )limx x x x xx? ??? 40 2 (ta n )limx x x xx? ?? 30 2( tan )limx xxx? ?? 22002( se c 1 ) 2 ta nl im l im33xxxx????? 23? （ ∵ tanx ～ x ） . 若使用洛必達(dá)法則可知原式 = 22220 tanlim tanx xxxx? ?=2 2 20 2 ( s e c ta n )lim 2 ta n 2 ta n s e cx x x xx x x x x? ??繼續(xù)運用洛必達(dá)法則會將 上式越變越復(fù)雜 ,難于求出最后的結(jié)果 .而通過運用無窮小的等價替換 ,將分母 22tanxx替換成 4x ,又將分子 分解因式后進行等價替換 ,從而很快地求出正確結(jié)果 ,由此可以看出單單運用洛必達(dá)法則有時并不能達(dá)到較好的效果 ,適時地運用等價替換可以簡化替換 . 通過上面的兩個例子可看到洛必達(dá)法則并不是萬能的 ,也不一定是最佳的 ,它的使用具有局限性 ,只要充分地掌握好等價無窮小量的 4條性質(zhì)就不難求出正確的結(jié)論 . 6 結(jié)論 主要發(fā)現(xiàn) 極限計算是 《 微積分理論 》 中的一個重要內(nèi)容 ,等價無窮小量代換又是極限運算中的一個重要的方法 .利用等價無窮小量代換計算極限 ,主要是指在求解有關(guān)無窮小的極限問題時利用等價無窮小量的性質(zhì) 、 定理施行的等價無窮小量替換的計算方法 ,通常與洛必達(dá)法則一起使用 ,目的是使解題步驟簡化 ,減少運算錯誤 .進行等價無窮小量代換的原則是整體代換或?qū)ζ渲械囊蜃舆M行代換 .即在等價無窮小量的代換中 ,可以分子分母同時進行代換 ,也可以只對分子（或分母）進行代換 .當(dāng)分子或分母為和式時 ,通常不能將和式 中的某一項以等價無窮小量替換 ,而應(yīng)將和式作為一個整體 、 一個因子進行代換 ,即必須是整體代換；當(dāng)分子或分母為幾個因子相乘積時 ,則可以只對其中某些因子進行等價無窮小量代換 ． 簡言之 ,只有因子才可以進行等價無窮小量替換 . 16 啟示 等價無窮小量的性質(zhì)掌握好了有利于我們方便快捷簡單的解得答案，不一定要用洛必達(dá)法則，而且洛必達(dá)法則不是每個題都適用的， .所以我們求解一道題時要進行全方位 、 多角度的思考 ,找出最適合 、 最恰當(dāng)?shù)慕忸}方法。同時讓我們知道數(shù)學(xué)是一個永無止境的領(lǐng)域，我們只有多學(xué)習(xí)，多研究，探討，爭論，掌握更多的知識才 能用快而且好的方法來解決問題。 局限性 有關(guān)等價無窮小量優(yōu)越性和等價無窮小量的性質(zhì)及性質(zhì)的推廣應(yīng)用的例題還有很多，本文探討了重要的一些例子，對于什么時候用等價無窮小量的性質(zhì)，什么時候用洛必達(dá)法則，什么時候有等價無窮小量和洛必達(dá)法則一起使用就沒有一一舉例了 。 努力方向 無窮小時數(shù)學(xué)分析的基礎(chǔ)概念，貫穿于數(shù)學(xué)分析的始終。我們明白極限計算是大學(xué)基礎(chǔ)數(shù)學(xué)的一個重要內(nèi)容，尤其在進一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)中，極限思想廣泛應(yīng)用，而等價無窮小量代換又是極限運算中的一種重要方法。但還是要具體問題具體分析，同時結(jié)合洛必達(dá)法則， 選擇合理恰當(dāng)?shù)姆椒ㄟM行求解利用等價無窮小量代換極限，主要是指在求解有關(guān)無窮小的極限問題時利用等級無窮小量的性質(zhì)，進行計算。通常與洛必達(dá)法則一起使用，目的是使解題步驟簡化，減少運算錯誤。進行等價無窮小量的代換原則是整體代換或?qū)ζ渲械囊蜃舆M行代換。了解數(shù)學(xué)史我們發(fā)現(xiàn)無窮思想的發(fā)展并不是一帆風(fēng)順的，也是充滿爭論的，正是在不斷的爭論 ,不斷的思考中，我們的數(shù)學(xué)理論才不斷的完善 ,嚴(yán)謹(jǐn)。 17 參 考 文 獻(xiàn) [1]同濟大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系主編 .高等數(shù)學(xué) .第 5 版 [M].高等教育出版社 ,20xx,7 5659. [2]楊文泰 . 等價無窮小量代換定理的推廣 [J].甘肅高師學(xué)報 ,20xx,10（ 2）： 1113. [3]王斌 .用羅比塔法則求未定式極限的局限性的探討 [J].黔西南民族師專學(xué)報 ,20xx,12(4):1215. [4]尤曉琳 ,吳振芬 .極限 的等價無窮小替換研究 [J].河南教育學(xué)院學(xué)報 (自然科學(xué)版 )20xx(3):46. [5]彭康青 ,馬振民 .用等價無窮小代換求極限 [J].甘肅高師學(xué)報 ,20xx,14(5):9091. [6]馮錄祥 .關(guān)于等價無窮小量代換的一個注記 [J].伊犁師范學(xué)院學(xué) 報 ,20xx(3): 2526. [7]段麗凌 ,楊賀菊 . 關(guān)于等價無窮小量替換的幾點推廣 [J].河北自學(xué)考試 ,20xx,(06):2022. [8]屈紅萍 ,趙文燕 .等價無窮小代換求極限的方法推廣 [J].保山學(xué)院學(xué)報 ,20xx(02):5457. [9] 王強 .無窮小量的階 [J].湘南學(xué)院學(xué)報 ,20xx,34(3):7172. [10] 龔萍 . 等 價 無 窮 小 的 性 質(zhì) 及 其 運 用 推 廣 [J]. 河 北 理 工 大 學(xué) 學(xué) 報 ( 自 然 科 學(xué)版 ),20xx,31(03):102105. [11]張云霞 .高等數(shù)學(xué)教學(xué) [J].山西財政稅務(wù)?？茖W(xué)校學(xué)報 ,20xx,(04):1519. [12]陳大橋 .等價無窮小代換在求極限中的常見應(yīng)用及推廣 [J].成都師范學(xué)報 ,20xx,30(5):117119 [13] 張高明 ， 李權(quán) .等價無窮小的妙用舉例 河套學(xué)院學(xué)報 [J].20xx,11(1):8891. [14] 蹇小平 .極限求解中等價無窮小量替換條件的推廣 [J]. 湖北民族學(xué)院學(xué)報 (自然科學(xué)版 )20xx,29(3):254257. [15] 殷君芳 ,用等價無窮小代換求極限的誤區(qū)及一點補充 [J].宜春學(xué)院學(xué)報 ,20xx,33(4):2526.
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