【正文】 ) ( )x x x xxxgx f x f xfx g x g x???? ? ? ?. 0( ) ~ ( ) ( )g x f x x x??. 湖北師范學(xué)院文理學(xué)院 20xx 屆學(xué)士學(xué)位論文（設(shè)計(jì)） 3 )(i00( ) ( )lim lim 1( ) ( )x x x xf x g xg x h x???? 0 0 0( ) ( ) ( ) ( ) ( )l im l im l im( ) ( ) ( ) ( ) ( )x x x x x xf x f x g x f x g xh x h x g x g x h x? ? ?? ? ? ? 00( ) ( )lim lim 1( ) ( )x x x xf x g xg x h x??? ? ? 0( ) ~ ( ) ( )f x h x x x?? 3． 等價(jià)無窮小量替換定理 定理 [2]1 設(shè)函數(shù) ,f gh 在 0 0()x 內(nèi)有定義 ,且有 0( ) ~ ( ) ( ).f x g x x x? ()i 若0lim ( ) ( ) ,xx f x h x A? ?則0lim ( ) ( ) 。 generalized theorem. 湖北師范學(xué)院文理學(xué)院 20xx 屆學(xué)士學(xué)位論文（設(shè)計(jì)） 1 等價(jià)無窮小量替換定理的推廣 朱澤飛（指導(dǎo)老師 :張金娥） （湖北師范學(xué)院文理學(xué)院 中國 黃石 435002） 1． 引言 在數(shù)學(xué)分析中 ,求函數(shù)的極限是最基本的問題之一 ,也是數(shù)學(xué)分析學(xué)習(xí)的重點(diǎn) .在這些求極限的問題中 ,最不好掌握的便是 00 型這類 不定式的極限 ,一般見到這一 類型的問題 ,最容易想到的便是洛比達(dá)法則 .事實(shí) 上 ,洛必達(dá)法則也不是萬能的 ,一些問題可能會(huì)越用越復(fù)雜 ,并且出現(xiàn) 循環(huán) ,求不出結(jié)果 .例如一個(gè) 求極限問題 [1]0 sin (ta n )ta n(sin )limx xx? ? ,它是一個(gè) 00 型的不定式極限 .用洛比 達(dá)法則求解如下 , 原式 121222 00 01212ta n( sin ) sin( ta n )sin( ta n ) ta n( sin )[ si n( t a n ) ]c os( t a n ) se c l i ml i m[ t a n( si n ) ]se c ( si n ) c os l imxx xx xx xx x xx xx?? ?? ??? ?? ? ? ?,出現(xiàn)了循環(huán) ,此時(shí)用洛必達(dá)法則求不出結(jié)果 .怎么辦？用等價(jià)無窮小量來替 換 ,原式0 0 1s inta nl im l imx xx xx x? ?? ?? ? ?,由此可見洛必達(dá)法則并不是萬能的 ,也不一定是最佳的 ,它的使用 也 具有局限性 .在這里我們看到了等價(jià)無窮小量有著無可比擬的作用 ,用等價(jià)無窮小量來替換能夠很快地求出結(jié)果 . 等價(jià)無窮小量替換是計(jì)算極限的一種重要方法 ,然而在目前流行使用的 許多版本的數(shù)學(xué)分析教材中 ,一般只給出了兩個(gè)無窮小量積和商的形式等價(jià)無窮小量替換定理 ,接著就強(qiáng)調(diào) :只有對(duì)所求的極限式中相乘或相除的因式才能用等價(jià)無窮小量來替換 ,而對(duì)極限式中的相加或 相減的部分則不能隨意替換 [2] .注意在這里 ,我們自然就有一個(gè)疑問 ,不能隨意替換是不是在有些情況下可以替換？那么在什么情況下可以替換呢？對(duì)于求不定式極限 0 00 , ,1?? 形式的冪指函數(shù)各位置上的無窮小量 情況 ,還有在求變上限積分中的被積函數(shù)為無窮小量時(shí)的 情形 ,求極限時(shí)能否用等價(jià)無窮小量來替換呢？在文獻(xiàn) [2]中并沒有作詳細(xì)的論述 ,這不得不說是一種遺憾 . 湖北師范學(xué)院文理學(xué)院 20xx 屆學(xué)士學(xué)位論文（設(shè)計(jì)） 2 本文所得到的結(jié)果是對(duì)等價(jià)無窮小量替換 定理的進(jìn)一步豐富與完善 ,也是對(duì)文獻(xiàn) [2]中的等價(jià)無窮小量替換定理的改進(jìn)和推廣 . 在敘述本文的結(jié)果之前 ,首先要說明一下 ,本文的所有結(jié)論都是以 0xx? 的極限形式為代表來敘述并證明的 .事實(shí)上 ,本文 的結(jié)論對(duì)于其它所有的極限過程 00( , , )x x x??? ????都成立 ,至于其它類型極限的定理及其證明 ,只要相應(yīng)地作些修 改即可 . 2． 無窮小量以及等價(jià)無窮小量 定義 [2]1 設(shè) f 在某 0 0()x 內(nèi)有定義 .若0lim ()0xxf x? ?,則稱 f 為 當(dāng) 0xx? 時(shí)的無窮小量 . 類似的定義當(dāng) 00,x x x??? ????時(shí)的無窮小量 . 定義 [2]2 設(shè)當(dāng) 0xx? 時(shí) , f 與 g 均為無窮小量 ,若0()lim 1()xxfxgx? ?,則稱 f 與 g 是當(dāng)0xx? 時(shí)的 等價(jià)無窮小量 .記作 0( ) ~ ( ) ( )f x g x x x?. 不難看出等價(jià)無窮小量是 等價(jià)關(guān)系 ,具有如下性質(zhì) : 性質(zhì) 1 設(shè)函數(shù) ,f gh 在 0 0()x 內(nèi)有定義 , 且 0( ) ~ ( ) ( )f x g x x x?, 0( ) ~ ( ) ( )g x h x x x?. ()i 反身性 ． ． ． : 0( ) ~ ( ) ( )f x f x x x?。 equivalent infinitesimal。 two and the finite infinitesimal sum and difference。推廣定理 . 分類號(hào) :O17 Generalization of the Equivalent Infinitesimal Substitution Theorem ZHU Zefei (Tutor: ZHANG Jine) (College of Arts amp。等價(jià)無窮小量 。兩個(gè)以及有限個(gè)無窮小量之和與差 。 涉密論文按學(xué)校規(guī)定處理。 作者簽名： 日期： 年 月 日 學(xué)位論文版權(quán)使用授權(quán)書 本學(xué)位論文作者完全了解學(xué)校有關(guān)保留、使用學(xué)位論文的規(guī)定，同意學(xué)校保留并向國家有關(guān)部門或機(jī)構(gòu)送交論文的復(fù)印件和電子版，允許論文被查閱和借閱。對(duì)本文的研究做出重要貢獻(xiàn)的個(gè)人和集體，均已 在文中以明確方式標(biāo)明。 作者簽名： 日 期： 學(xué)位論文原創(chuàng)性聲明 本人鄭重聲明：所呈交的論文是本人在導(dǎo)師的指導(dǎo)下獨(dú)立進(jìn)行研究所取得的研究成果。對(duì) 本研究提供過幫助和做出過貢獻(xiàn)的個(gè)人或集體，均已在文中作了明確的說明并表示了謝意。 文理學(xué)院 College of Arts and Science of Hubei Normal University 學(xué)士學(xué)位論文 Bachelor’s Thesis 論文題目 等價(jià)無窮小量替換定理的推廣 作者姓名 指導(dǎo)教師 所在院系 專業(yè)名稱 完成時(shí)間 畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）原創(chuàng)性聲明和使用授權(quán)說明 原創(chuàng)性聲明 本人鄭重承諾：所呈交的畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文），是我個(gè)人在指導(dǎo)教師的指導(dǎo)下進(jìn)行的研究工作及取得的成果。盡我所知，除文中特別加以標(biāo)注和致謝的地 方外，不包含其他人或組織已經(jīng)發(fā)表或公布過的研究成果，也不包含我為獲得 及其它教育機(jī)構(gòu)的學(xué)位或?qū)W歷而使用過的材料。 作 者 簽 名： 日 期： 指導(dǎo)教師簽名： 日 期： 使用授權(quán)說明 本人完全了解 大學(xué)關(guān)于收集、保存、使用畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）的規(guī)定，即：按照學(xué)校要求提交畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）的印刷本和電子版 本；學(xué)校有權(quán)保存畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）的印刷本和電子版，并提供目錄檢索與閱覽服務(wù)；學(xué)?？梢圆捎糜坝　⒖s印、數(shù)字化或其它復(fù)制手段保存論文；在不以贏利為目的前提下，學(xué)校可以公布論文的部分或全部內(nèi)容。除了文中特別加以標(biāo)注引用的內(nèi)容外，本論文不包含任何其他個(gè)人或集體已經(jīng)發(fā)表或撰寫的成果作品。本人完全意識(shí)到本聲明的法律后果由本人承擔(dān)。本人授權(quán) 大學(xué)可以將本學(xué)位論文的全部或部分內(nèi)容編入有關(guān)數(shù)據(jù)庫進(jìn)行檢索，可以采用影印、縮印或掃描等復(fù)制手段保存和匯編本學(xué)位論文。 作者簽名： 日期： 年 月 日 導(dǎo)師簽名： 日期： 年 月 日 湖北師范學(xué)院文理學(xué)院學(xué)士學(xué)位論文（設(shè)計(jì)）誠信承諾書 中文題目 : 等價(jià)無窮小量替換定理的推廣 外文題目 :Generalization of the Equivalent Infinitesimal Substitution Theorem 學(xué)生姓名 學(xué) 號(hào) 院系專業(yè) 文理學(xué)院數(shù)學(xué)系 班 級(jí) 學(xué) 生 承 諾 我承諾在畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）活動(dòng)中遵守學(xué)校有關(guān)規(guī)定 ,恪守學(xué)術(shù)規(guī)范 ,本人畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）內(nèi)容除特別注明和引 用外 ,均為本人觀點(diǎn) ,不存在剽竊、抄襲他人學(xué)術(shù)成果 ,偽造、篡改實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的情況 .如有違規(guī)行為 ,我愿承擔(dān)一切責(zé)任 ,接受學(xué)校的處理 . 學(xué)生（簽名） : 年 月 日 指導(dǎo)教師承諾 我承諾在指導(dǎo)學(xué)生畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）活動(dòng)中遵守學(xué)校有關(guān)規(guī)定 ,恪守學(xué)術(shù)規(guī)范 ,經(jīng)過本人核查 ,該生畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）內(nèi)容除特別注明和引用外 ,均為該生本人觀點(diǎn) ,不存在剽竊、抄襲他人學(xué)術(shù)成果 ,偽造、篡改實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的現(xiàn)象 . 指導(dǎo) 教師（簽名） : 年 月 日 目錄 1．引言 ................................................................... 1 2．無窮小量以及等價(jià)無窮小量 ............................................... 2 3．等價(jià)無窮小量替換定理 ................................................... 3 4．等價(jià)無窮小量替換定理的推廣 ............................................. 4 有限個(gè)函數(shù)積或商運(yùn)算的等價(jià)無窮小量替換 ............................. 4 在極限式中有加或減運(yùn)算的等價(jià)無窮小量替換 ........................... 5 乘方運(yùn)算下的等價(jià)無窮小量替換 ....................................... 8 變上限定積分函數(shù)的等價(jià)無窮小量替換 ................................ 12 5．應(yīng)用舉例 .............................................................. 14 6．結(jié)束語 ..