【正文】 正定矩陣，所以 A 的特征值 ? ?1, 2, , 0i in? ??，那么 ? ?1 , 2 , , 0ki in? ??， 即 kA 的特征值都大于 0，所以 ? ?kAk是 正 整 數(shù) 是正定矩陣 . 4 正定矩陣的應(yīng)用 ?? 證明不等式 實(shí)對稱矩陣 A 稱為正定矩陣，是指如果實(shí)二次型 TXAX 正定， ? ?12, , ,? TnX x x x， 而二次型 TXAX 正定是指對任意 ? ?0 0 00 1 2, , ,TnX x x x? 0? ，恒有 00TX AX ? 0 ，所以可用實(shí)對稱矩陣中的正定矩陣來證明不等式 . 例 求證 44?xy xz ? 2 2 25 6 4x y z??? ?x y z、 、 為 不 全 為 零 的 實(shí) 數(shù). 證明 設(shè)二次型 f ? ?,xyz = 2 2 25 6 4x y z? ? ? +44?xy xz ，則 f 的矩陣 A= 5 2 22 6 02 0 4?????????， A 的各階順序主子式 11a =5 0? ， 5226????????=26? 0 ， 5 2 22 6 02 0 4?????????=80 0? 所以 A 是負(fù)定 矩陣，則 f 0? ，即 44?xy xz ? 2 2 25 6 4x y z??. 求函數(shù)的極值 定義 ?? 假定 ? ?,f xy 具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，并記 ? ? ? ? ? ?? ? ? ?0000 x x x yx x x yfy x y yy x y y Pfff P f PHP fff P f P?? ?????? ??????, 它稱為 f 在 0P 的黑賽 ? ?Hesse 矩陣 . 定理 ?? 設(shè)二元函數(shù) f 在點(diǎn) ? ?0 0 0,P x y 的某鄰 域 ? ?0P 內(nèi) 具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且 0P 是 f 的穩(wěn)定點(diǎn) .則當(dāng) ? ?0fHP是正定矩陣時(shí)， f 在 0P 取得極小值；當(dāng) ? ?0fHP是負(fù)定矩陣時(shí)， f 在 0P 取得極大值；當(dāng) ? ?0fHP是不定矩陣時(shí)， f 在 0P 不取極值 . 洛陽師范學(xué)院本科畢業(yè)論文 10 例 求函數(shù) ? ? 22,2f x y x xy y x y? ? ? ? ?的極值點(diǎn) . 解 由方程組 2 2 02 1 0xyf x yf x y? ? ? ???? ? ? ? ? ??? 得 f 的穩(wěn)定點(diǎn)為 ? ?0 1,0P ， ? ?0xxfP=2， ? ?0 1xyfP?? ， ? ?0 1yxfP?? ， ? ?0 2yyfP? ，那么 ? ? ? ? ? ?? ? ? ?000 2112x x x yf y x y yf P f PHP f P f P?? ??????? ???????， 是正定矩陣，所以 ? ?0 1,0P 是 f 的極小值點(diǎn)， ? ?1,0 1f ?? . 多元函數(shù)的情形： 定義 假設(shè) ? ?12, , , nf x x x 具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，并記 ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?1 1 1 2 12 1 2 2 2120 0 00 0 000 0 0nnn n n nx x x x x xx x x x x xfx x x x x xf P f P f Pf P f P f PHPf P f P f P???????， 它稱為 f 在 0P 的黑賽 ? ?Hesse 矩陣 . 定理 設(shè)多元函數(shù) ? ?12, , , nf x x x 在點(diǎn) ? ?0 0 00 1 2, , , nP x x x的某鄰域 ? ?0P 內(nèi)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且 0P 是 f 的穩(wěn)定點(diǎn) ? ?0 0fP在 點(diǎn) 的 一 階 偏 導(dǎo) 數(shù) 全 為. 則當(dāng) ? ?0fHP是正定矩陣時(shí)， f 在 0P 取得極小值；當(dāng) ? ?0fHP是負(fù)定矩陣時(shí)， f 在 0P 取得極大值；當(dāng) ? ?0fHP是不定矩陣時(shí)， f 在 0P 不取極值 . 例 求函數(shù) ? ? 321232231321 212, xxxxxxxxxf ????? 的極值 . 解 由方程組 ????????????????????????02201220123331222211xxfxxxfxxxf 洛陽師范學(xué)院本科畢業(yè)論文 11 得 f 的穩(wěn)定點(diǎn)為 ? ?1,0,01 ??A ， ? ?1,144,242 ???A ，又 f 的二階偏導(dǎo)數(shù)為1212 6xxf ???，12212 ??? xx f ， 2222 ???xf ， 0322 ??? xxf ， 2232 ???xf ， 0312 ???xxf . 所以 ? ????????????200021201201AH f， 其順序主子式分別為 0， 0144212 120 ?????????， 02 8 820002120120????????????? ，所以 ? ?1AHf 是不定矩陣， f 在 1A 點(diǎn)處不取極值 . ? ????????????20002120121 4 42AH f ， 其順序主子式分別為 0144? ， 0144212 12144 ????????， 02 8 820002120121 4 4???????????? ，所以 ? ?2AHf是正定矩陣，由定理 可知， f 在 2A 點(diǎn)處取極小值，極小值為 ? ? 69131,144,24 ????f . 多項(xiàng)式因式分解 定理 ?? 一個(gè)實(shí)二次型可以分解為兩個(gè)實(shí)系數(shù)的一次齊次多項(xiàng)式乘積的充要條件是它的秩等于 2且符號差為 0 ，或秩等于 1. 該定理為利用二次型進(jìn)行二次多項(xiàng)式因式分解提供了理論依據(jù)，同時(shí)給出了判斷能否分解的方法，并且可以很快得到分解式 . 例 試判斷下列多項(xiàng)式在 R上能否進(jìn)行因式分解，若能，分解之 . ??1 ? ? 221 2 1 2 2 1, 2 2 3 1f x x x x x x? ? ? ? ? ??2 ? ? 221 2 1 2 2 1 2, 3 2 4 1f x x x x x x x? ? ? ? ? ? 解 ??1 令 ? ? 2 2 21 2 3 1 2 2 3 1 3 3, , 2 2 3g x x x x x x x x x x? ? ? ? ?，則 ? ?12,f x x = ? ?12, ,1g x x ，只需洛陽師范學(xué)院本科畢業(yè)論文 12 考慮 ? ?1 2 3,g x x x 的秩和符號差， g 所對應(yīng)的矩陣為31020 2 13 112??????????0? ，所以 ? ?1 2 3,g x x x 的秩為 3，故 ? ?1 2 3,g x x x 不能分解 ,所以 ? ?12,f x x 不能分