【正文】 ,mN??．????????? mnnmnnmn ababa由柯西收斂準則得 收斂．??c設 ．由于 在 上的連續(xù)，所以數(shù)列 收斂于 從而????nclim)(xg],[ba??)(ncg),(?g或 ．Xg?)(?Y)(不妨設 根據(jù)數(shù)列極限的保號性，存在正整數(shù) 當 時 即, ,N?,0)(?ncg．然而當 時，有 這與 矛盾．從而假設不成立，因而)(nbc?Xgn?)(???Y使 ．,ba???0)(?g以上我們總共列舉了四種方法來證明介值定理，應用確界原理和區(qū)間套定理來證明比較簡單，易于學習者明白．對于另外兩種方法，則需要儲備大量的知識，來理解．對于初學者來說理解起來比較吃力，但這也是證明的一種方法，有利于學習者多多思考，開闊眼界，為以后的學習提供幫助．其實還有其他的方法來證明介值定理，由于篇幅有限，在此不在一一列舉．2 介值定理的應用 利用介值定理判斷方程根的存在性在證明一些方程根的存在性時，如果沒有給出具體方程往往很難求出根．即使給出了方程，如果方程特別復雜，那么想證明根的存在性，那也是很費勁的．我們往往不能采用先求出其根而后說明根存在的方法．利用連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上的重要性質(zhì)，介值定理或推論（根的存在定理）易得出存在使函數(shù)值為零的點，也就是可得出存在使方程成立的根．介值定理在判斷方程根的存在性上的題目較多，應用介值定理可以清晰地界定出根的情況． [5]　 證明方程 至少有一個正根，且不超過 ．bxa??sin)0,(?ba?證明　設 ，)(xf?由已知可得：,即 ．1sinbxa???1bxa1因為 所以,0?ba???考察 ，)(af bab??)sin( )]sin(1[ab???0?，? ?當 時，至少存在一個正根 ，使 ；0??ab??),(ba??0)(??f當 時，不妨只考察 ，因為 ，并且?],0[ba?]0[?],[ba??，,)(??f)(?f所以至少存在一個正根 ，使 ．??,??因此，方程 至少有一個正根，且不超過 .bxa??sin)0(?ba?　證明：若 ， 為正整數(shù)，則存在唯一正數(shù) ，使0?r 0xrno?次 正 根的稱 為 rx0(．)0nrx?（ 即 算 數(shù) 根 ） ， 記 作證明 先證存在性．由于當 時，有 ，故必存在正數(shù) ，使得 . ????n anr?因 在 上連續(xù)，并有 ，故由介值定理，至少存在一點nxf?)(],0[a)()0(frf?，使得 ．,0axo?()nfr?再證唯一性．設正數(shù) 使得 ，則有1xn．?n0)(10 0).(1120????nnxx由于第二個括號內(nèi)的數(shù)為正，所以只能 ,即 ．1 設 在閉區(qū)間 連續(xù)，滿足 ．證明：存在 ，使得f],[ba][),(baf?],[0bax?．0x?證明 由條件知：對任何 有 ，特別有],[x?fa?)( 以及 ．)(f?b若 或 ，則取 或 ，從而 成立．)(af?bf?x0 0)(xf?現(xiàn)設 與 令??)(，xfxF??)(則．,0)(???afF0)(???bfF故由根的存在性定定理，存在 使得 即 ． ,bx?,0x0)(xf? 介值定理在解不等式中的應用其實介值定理在解不等式中的應用，并不是直接應用根的存在定理，而是應用根的存在定理的逆否命題．我們都知道，如果原命題成立，那么它的逆否命題也成立，因此不在對逆否命題進行證明，下面給出根據(jù)根的存在定理所得出的逆否命題以及推論命題．設函數(shù) 在某一區(qū)間 (也可指 、 、 )內(nèi)有定義且連續(xù)．)(xf ),baI?],[ba),(???(1)（根的存在定理的逆否命題）若方程 在 內(nèi)沒有根，則函數(shù) 的值在0)(?xfI)(xf內(nèi)保持相同的正(負)號；I(2)若方程 在 內(nèi)所有不同的根為 且 ，則這 個根0)(?xfI n,.21 nx?.21將區(qū)間 分成 個小區(qū)間 在每一個這樣的小區(qū)間內(nèi)，函數(shù)I1?n),(1xa,2.)(bxn的值保持相同的正負號．)(xf以上結(jié)論告訴我們，對于(2)中的每一個小區(qū)間內(nèi)的一切 值，不等式 (或x0)?xf)要么恒真，要么恒假．因此，我們只要逐一的考察各個小區(qū)間內(nèi) 的正負號，0(?xf即判定不等式 (或 )的真假性．就可以得到不等式 (或 )在0)?xf0?xf )xf?xf區(qū)間I內(nèi)的全部解． [6] 解不等式 (第四屆國際數(shù)學奧林匹克試題)?31?2?解 原不等式的定義域為 ，我們考察方程 解得],[ x?31?2?， ．8311?x82?x這兩個根將定義域分成三個小區(qū)間：、 、 ．831[,)?83(,)?(,3]8在 內(nèi)，取 ，左邊 ，原不等式為真．831[,)?0?x213??在 內(nèi)，取 ，左邊 ，原不等式為假．(,)?10??在 內(nèi)，取 ，左邊 ，原不等式為假．831(,]2?x213?所以原不等式的解集為 ．8[1,)無理不等式通常要進行“兩邊平方”的變形，但這只是在一定條件下才是等價變形，所以必須就 的不同取值范圍進行討論，因此相對來說計算是比較困難的．利用介值定理x則計算簡單，而且易于理解． [6] 解不等式 ．1)43(log2??x解 設 原不等式等價于不等式 )．?)(xF?x 0(?xF的定義域為 , 解方程 ，得方程解 ，)(x1,??)2(0)(?xF25??將定義域 分成三個小區(qū)間 列表如下：),(?,( ),25,1()??),(表 21所以，原不等式的解集為 ．)1,(???)2,5(可見, 以介值定理為基礎(chǔ), 將不等式的定義域分成若干區(qū)間, 然后找出不等式解集的方法是解不等式解集的一種非常實用的方法．求解一般形式的不等式 (或 )的一般方法歸納如下:)(xgf?(xgf?x)1,(??),25,1(?)2,5(?)(0F0?06?F03?F?x是解集 不是解集 是解集(1)設 ；)()(xgfxF??(2)求出 的定義域, 即 和 定義域的交集；f)(xg(3) 解出 的所有解( )；0)xn?.21(4) 利用這些解將定義域分成 個小區(qū)間；?n(5) 在每個小區(qū)間內(nèi)取一個特殊點 ,通過 的符號判別 在此區(qū)間內(nèi)的符號；0x)(0xF)(xF(6) 找出使 (或 )的所有區(qū)間,這些區(qū)間的并集即是所求不等式的0)?xF?解． 介值定理在證明等式中的應用介值定理在證明等式方面也有廣泛應用．正是由于介值定理的廣泛使用，才使得一些較復雜的等式能夠輕而易舉地被證明出來．其中積分中值定理的證明就用到了介值定理． 設函數(shù) 在 上連續(xù)，在 內(nèi)可導，且 ， ．則對于任)(xf]1,0[)1,0(0)(?f1)(f意給定的正數(shù) ．求證：存在 ，使下列式子成立：ba, 2?x．)(1fa??)(2fb?a?證明 （證法一）因為 ， ，所以 ，又因為 在 上連續(xù)，0?10??)(xf]1,0[且 ， ．由介值定理知，必有 ，使0)(?f1)(f ?),(?．?)(fba由于 在 上連續(xù)，在 內(nèi)可導，函數(shù) 由拉格朗日中值定理有：)(xf],[),0()(xf， ．10fx??????211f????)10(21?x?其 中即有 ,)(01????xfba,1)(2????xfba將兩式相加得，??)(1xfba1)(2??f整理式子即有．)(1xfa?)(2fb?a 設 在 上連續(xù)，且 ，證明在 內(nèi)至少存在一點 ，使)(xf],[badc?),(b?得 成立．其中 均為任意正的常數(shù)．)()(?fqpdqcpf??qp,證明 (證法一)作輔助函數(shù) ，)()((dqfcfxfxF???由題設知， 在 上連續(xù)，又xF],[,bac?， ．)]()(dfcq?)]([)(cfp由于 均為任意正的常數(shù)，有qp,．qF?)( 0)]([2??f當 時， ，則 均可取作所求的；當 時，)(dfc?0)(dcdc, )(dfc?，由根的存在定理可知，至少存在一點 ，使 ，即0)(?F ],[,bad???0??F．)(()(fqpqfcpf??（證