【正文】 ( 1 2 ) ( 1 4 )n nnn??????? 本文將 含 Wallis 公式 不等 式 推廣為 當(dāng) 2K? 時(shí)，有下列式子成立 1 1 2 1 1 12 ( 1 ) 1k kK K K n K KK K n KK n n K K? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?, （ 15） 或 21 2 1 1( 1 ) ( 1 ) 4k kK K K n K KK K n KK n n K K? ? ?? ? ?? ? ? ?. （ 16） 證明 如果 1K? ，式（ 15）顯然成立 . 如果 2K? ， 用數(shù)學(xué)歸納法證明， 式（ 15）左邊 當(dāng) 1n? 時(shí)，顯然成立 . 假設(shè)對(duì)式子（ 15）的左邊對(duì)于正整數(shù) n 成立，則下面證明對(duì)于 1n? 同樣成立，由歸納假設(shè)，只要證明 1 1 ( 1 ) 1( 1 )1kkK K n KnKK n K n? ? ? ??? ?? , 即 證明 ? ? ? ?1 ( 1 ) 1 ( 1 )kkn n K n Kn? ? ? ? ?, 亦即 11( 1)knn n K??? ???????. （ 17） 根據(jù)伯努利不等式 [7] (1 ) 1kx Kx? ? ? ( 1 , 1 0)x K K? ? ? ?或 . 令 1( 1)x nK?? ?，則 鹽城師范學(xué)院畢業(yè)論文 第 6 頁 共 14 頁 1 1 1 11 1 1( 1 ) 1knnn n K n n???? ??? ? ? ??? ????????. 所以式 （ 17） 成立 .因此，對(duì)任意正整數(shù) n ，式子（ 15）的左邊成立 . 下面證明式（ 15）的右邊成立 . 當(dāng) 1n? 時(shí)，要證明 (15)的右邊成立，只要證明 112kKKK K??? , 即可， 化簡(jiǎn)可知 這個(gè)不等式成立的充要條件為 2kKK? ，又由于 2K? 時(shí)，有12 ( 2) 0kkK K K K ?? ? ? ?. 因此，此時(shí)式（ 15）的右邊成立 . 假設(shè)式（ 15）的右邊對(duì)于正整數(shù) n ，下面證明 1n? 同樣成立，只要證明 1 ( 1 ) 1 1( 1 )( 1 ) 1 ( 1 ) ( 1 ) 1nkK n K KnKn K K n K K? ? ? ????? ? ? ? ? ? ?, 而 此不等式成立的充要條件為 ? ? ? ? ? ? ? ?( 1 ) ( 1 ) 1 ( 1 ) 1 ( 1 ) 1 ( 1 )kkn K K n K n K K n K? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?, 即 ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ?( 1 ) 1 ( 1 ) ( 1 ) 1 ( 1 ) 1 ( 1 ) 1 1 kkn K n K n K n K n n K? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （ 18） 但是，由 Newton 二項(xiàng) 式公式，式子 （ 18） 的右 邊 不小于下面的式子： ? ?? ? ? ? ? ? ? ?12( 1 )( 1 ) 1 ( 1 ) 1 ( 1 ) 1 ( 1 ) 12k k kKKn K n n K K n K n K?????? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ????? ? ? ? ? ? ?11 ( 1 )( 1 ) 1 ( ) ( 1 ) 1 ( 1 ) 12k k kKKn K n K n K n K n K?? ???? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ????? ? ? ? ? ? ? ? ?( 1 ) 1 ( ) ( 1 ) 1 ( 1 ) ( 1 ) 1k k kn K n K n K K n K n K? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1( 1 ) 1 ( 1 ) ( 1 ) 1kkn K n K n K?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?( 1 ) 1 ( 1 ) ( 1 ) 1 kn K n K n K? ? ? ? ? ? ? ? ?. 所以式子 （ 18） 成立 . 因此，對(duì)任意正整數(shù) n ,式子（ 15）的右邊成立 . 鹽城師范學(xué)院畢業(yè)論文 第 7 頁 共 14 頁 2 沃利斯公式的應(yīng)用 沃利斯公式在極限計(jì)算 中 的應(yīng)用 由于沃 利斯公式和極限有關(guān)，所以 在計(jì)算一些極限的問題可以通過沃利斯公式會(huì)很容易出來 . 例 1 求極限 1 3 5 (2 1)lim2 4 6 (2 )n n n?? ? ? ???. 解 利用沃利斯 公式 （ ） ，可得 1 3 5 ( 2 1)lim 2 4 6 ( 2 )nn n??? ? ? ? ??? (2 1)!!lim (2 )!!nnn??? ( 2 1 ) ! ! 1l im 2 1( 2 ) ! ! 21n n nn n?? ???? ? ? ??? ??? ( 2 1 ) ! ! 1l im 2 1 l im( 2 ) ! ! 21nnn nn n? ? ? ????? ? ? ??? ??? 2 00?? ? ?. 例 2 設(shè) ( 1)!!!!n nna n ??（ n?? ），試 證 lim 2nn a ??? ? ， 2lim nn a ??? ? . 解 由于 2222 2 2 1 2 1 1222 2 ( 2 2 )nna n n nann n n? ? ? ?? ? ? ?? ?， 21212 1 2 2 1212 1 ( 2 1 ) ( 2 1 )nna n n nann n n???? ? ? ??? ? ?， 因此 ? ?2na ， ? ?21na? 是遞增數(shù)列 .根據(jù)沃利斯 公式 ，則 2 2lim nn a ??? ?， 21lim 2nn a ???? ?. 得證 . 鹽城師范學(xué)院畢業(yè)論文 第 8 頁 共 14 頁 例 3 求極限 26 8 ( 2 4 )lim5 7 ( 2 3)n nn?? ????????. 解 由 沃利斯 （ Wallis） 公式的 推廣 （ 14） ，則有 2( 2 ) ( 4 ) ( 2 ) 1l im( 1 ) ( 3 ) ( 2 1 ) 2 1n x x n xx x n x n x?? ??? ? ???? ? ? ? ? ??? 20120si n d(1 ) si n dxxttx t t???????. 令 4x? 則 2( 2 ) ( 4 ) ( 2 )l im(1 ) ( 3 ) ( 2 1 )n x x n xx x n x?? ??? ? ???? ? ? ??? 26 8 ( 2 4 )l im5 7 ( 2 3 )n nn?? ????? ???? 420520si n dlim ( 2 5 )5 si n dntt ntt????? ? ???? 9lim ( 2 5 )128n n???? ? ???. 例 4 求極限21 1 1l im 1 9 2 5 ( 2 1 )n n?? ??? ? ? ??????. 解 因?yàn)?139。2 221( a r c s in ) (1 )1xxx ?? ? ?? 2 4 61 1 1 1 1( ) ( 1 ) ( ) ( 1 ) ( 2)1 2 2 2 2 21 ( )2 2 ! 3!x x x? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? 2 4 6231 1 3 1 3 51 2 2 2 ! 2 3 !x x x? ? ?? ? ? ? ??? 21(2 1) !!1 (2 ) !! nnn xn?????? ， ( 1,1)x?? . 因此 20 1( 2 1 ) ! !a r c s in ( 1 )( 2 ) ! ! nnnx x d xn?????? ?? 211( 2 1) !!( 2 ) !! 2 1nnnxx nn ????? ? ? ?? （ 21） 鹽城師范學(xué)院畢業(yè)論文 第 9 頁 共 14 頁 由于當(dāng) 1x? 時(shí)，級(jí)數(shù)1(2 1)!! 1(2 )!! 2 1nn nn??? ? ?? 在 1x? 處收斂 [8] （本文 下面給予證明），又由于函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) M檢驗(yàn)法知，級(jí)數(shù) (1)在 ? ?1,1? 上一致收斂 . 在 （ 21） 中，令 sin ( )22x t t??? ? ? ?，有 211( 2 1 ) ! ! s ins in ( 2 ) ! ! 2 1nnnttt nn ????? ? ? ?? ， （ 22） 對(duì)（ 22）所在區(qū)間 0,2???????取積分，并且由逐項(xiàng)積分公式，則有 212 2 20 0 01( 2 1 ) ! !s in d s in d( 2 ) ! ! ( 2 1 ) nnntd t t t t tnn? ? ?? ???? ? ???? ? ?， 2 21201( 2 1 ) ! !1 s in d8 ( 2 ) ! ! ( 2 1 ) nnn ttnn ?? ? ???? ? ??? ?， 又由沃利斯公式 可知， 2120( 2 ) !!s in d ( 2 1) !!n ntt n? ? ? ?? ， 于是 21( 2 1 ) ! ! ( 2 ) ! !18 ( 2 ) ! ! ( 2 1 ) ( 2 1 ) ! !nnnn n n? ???? ? ???? 2202211 ( 2 1 ) ( 2 1 )nnnn????? ? ????? 即 221 1 1l im (1 )9 2 5 ( 2 1 ) 8n n ??? ? ? ? ? ??. 沃利斯公式在積分計(jì)算中的應(yīng)用 對(duì)于一些不易用積分法求出原函數(shù)的積分，但是利用沃利斯公式卻可能很容易解決這些問題 . 例 5[9] 求積分 20 xI e dx?? ???. 解 假設(shè) 0x? ，由 2462 2 2 4 211 1 12 ! 3 ! 1xxxx x e x x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?, 鹽城師范學(xué)院畢業(yè)論文 第 10 頁 共 14 頁 可知 22 211 1xxe x?? ? ? ?, 注意，前者僅對(duì) 01x??正確，而后者對(duì)任一 0x? 都對(duì)，由此可得 22(1 )n nxxe??? (0 1)x?? ， 2 21(1 )nx ne x? ? ? ( 0)x? . 取積分 22112 20 0 0 0( 1 ) ( 1 )n n x n x ndxx d x e e x????? ? ? ? ?? ? ? ?. 但用替換 u nx? 可得 201dnxe x In? ? ?? . 又 1 2 2 12002 4 6 ( 2 2 ) ( 2 )( 1 ) s in d 1 3 5 ( 2 1 )nn nnx d x t t n? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ??? , 即 222200 1 3 ( 2 3 )s in( 1 ) 2 4 ( 2 2 ) 2nnd x ntd txn? ?? ? ????? ? ??? , 所以 2 4 6 ( 2 2 ) ( 2 ) 1 3 ( 2 3 )1 3 5 ( 2 1 ) 2 4 ( 2 2 ) 2n n nn I nnn ?? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ?. 平方得 222222( 2 4 ( 2 2 ) ( 2 ) ) ( 1 3 ( 2 3 ) ) ( 2 1 )2 1 ( 1 3 5 ( 2 1 ) ) ( 2 1 ) 2 1 ( 2 4 ( 2 1 ) ) 4n n n n n nIn n n n n ?? ? ? ? ? ??? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ??. 由 沃利斯公式得 22( 2 4 ( 2 2 ) ( 2 ) )l im (1 3 5 ( 2 1 ) ) ( 2 1 ) 2n nn ??? ?? ?? ? ? ?. 可知，當(dāng) n?? 時(shí) 2112 2 2 2I??? ? ? ?, 即 2 4I