【文章內(nèi)容簡介】 時(shí),mN??．????????? mnnmnnmn ababa由柯西收斂準(zhǔn)則得 收斂．??c設(shè) ．由于 在 上的連續(xù)，所以數(shù)列 收斂于 從而????nclim)(xg],[ba??)(ncg),(?g或 ．Xg?)(?Y)(不妨設(shè) 根據(jù)數(shù)列極限的保號性，存在正整數(shù) 當(dāng) 時(shí) 即, ,N?,0)(?ncg．然而當(dāng) 時(shí)，有 這與 矛盾．從而假設(shè)不成立，因而)(nbc?Xgn?)(???Y使 ．,ba???0)(?g以上我們總共列舉了四種方法來證明介值定理，應(yīng)用確界原理和區(qū)間套定理來證明比較簡單，易于學(xué)習(xí)者明白．對于另外兩種方法，則需要儲(chǔ)備大量的知識(shí)，來理解．對于初學(xué)者來說理解起來比較吃力，但這也是證明的一種方法，有利于學(xué)習(xí)者多多思考，開闊眼界，為以后的學(xué)習(xí)提供幫助．其實(shí)還有其他的方法來證明介值定理，由于篇幅有限，在此不在一一列舉．2 介值定理的應(yīng)用 利用介值定理判斷方程根的存在性在證明一些方程根的存在性時(shí)，如果沒有給出具體方程往往很難求出根．即使給出了方程，如果方程特別復(fù)雜，那么想證明根的存在性，那也是很費(fèi)勁的．我們往往不能采用先求出其根而后說明根存在的方法．利用連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上的重要性質(zhì)，介值定理或推論（根的存在定理）易得出存在使函數(shù)值為零的點(diǎn)，也就是可得出存在使方程成立的根．介值定理在判斷方程根的存在性上的題目較多，應(yīng)用介值定理可以清晰地界定出根的情況． [5]　 證明方程 至少有一個(gè)正根，且不超過 ．bxa??sin)0,(?ba?證明　設(shè) ，)(xf?由已知可得：,即 ．1sinbxa???1bxa1因?yàn)?所以,0?ba???考察 ，)(af bab??)sin( )]sin(1[ab???0?，? ?當(dāng) 時(shí)，至少存在一個(gè)正根 ，使 ；0??ab??),(ba??0)(??f當(dāng) 時(shí)，不妨只考察 ，因?yàn)?，并且?],0[ba?]0[?],[ba??，,)(??f)(?f所以至少存在一個(gè)正根 ，使 ．??,??因此，方程 至少有一個(gè)正根，且不超過 .bxa??sin)0(?ba?　證明：若 ， 為正整數(shù)，則存在唯一正數(shù) ，使0?r 0xrno?次 正 根的稱 為 rx0(．)0nrx?（ 即 算 數(shù) 根 ） ， 記 作證明 先證存在性．由于當(dāng) 時(shí)，有 ，故必存在正數(shù) ，使得 . ????n anr?因 在 上連續(xù)，并有 ，故由介值定理，至少存在一點(diǎn)nxf?)(],0[a)()0(frf?，使得 ．,0axo?()nfr?再證唯一性．設(shè)正數(shù) 使得 ，則有1xn．?n0)(10 0).(1120????nnxx由于第二個(gè)括號內(nèi)的數(shù)為正，所以只能 ,即 ．1 設(shè) 在閉區(qū)間 連續(xù)，滿足 ．證明：存在 ，使得f],[ba][),(baf?],[0bax?．0x?證明 由條件知：對任何 有 ，特別有],[x?fa?)( 以及 ．)(f?b若 或 ，則取 或 ，從而 成立．)(af?bf?x0 0)(xf?現(xiàn)設(shè) 與 令??)(，xfxF??)(則．,0)(???afF0)(???bfF故由根的存在性定定理，存在 使得 即 ． ,bx?,0x0)(xf? 介值定理在解不等式中的應(yīng)用其實(shí)介值定理在解不等式中的應(yīng)用，并不是直接應(yīng)用根的存在定理，而是應(yīng)用根的存在定理的逆否命題．我們都知道，如果原命題成立，那么它的逆否命題也成立，因此不在對逆否命題進(jìn)行證明，下面給出根據(jù)根的存在定理所得出的逆否命題以及推論命題．設(shè)函數(shù) 在某一區(qū)間 (也可指 、 、 )內(nèi)有定義且連續(xù)．)(xf ),baI?],[ba),(???(1)（根的存在定理的逆否命題）若方程 在 內(nèi)沒有根，則函數(shù) 的值在0)(?xfI)(xf內(nèi)保持相同的正(負(fù))號；I(2)若方程 在 內(nèi)所有不同的根為 且 ，則這 個(gè)根0)(?xfI n,.21 nx?.21將區(qū)間 分成 個(gè)小區(qū)間 在每一個(gè)這樣的小區(qū)間內(nèi)，函數(shù)I1?n),(1xa,2.)(bxn的值保持相同的正負(fù)號．)(xf以上結(jié)論告訴我們，對于(2)中的每一個(gè)小區(qū)間內(nèi)的一切 值，不等式 (或x0)?xf)要么恒真，要么恒假．因此，我們只要逐一的考察各個(gè)小區(qū)間內(nèi) 的正負(fù)號，0(?xf即判定不等式 (或 )的真假性．就可以得到不等式 (或 )在0)?xf0?xf )xf?xf區(qū)間I內(nèi)的全部解． [6] 解不等式 (第四屆國際數(shù)學(xué)奧林匹克試題)?31?2?解 原不等式的定義域?yàn)?，我們考察方程 解得],[ x?31?2?， ．8311?x82?x這兩個(gè)根將定義域分成三個(gè)小區(qū)間：、 、 ．831[,)?83(,)?(,3]8在 內(nèi)，取 ，左邊 ，原不等式為真．831[,)?0?x213??在 內(nèi)，取 ，左邊 ，原不等式為假．(,)?10??在 內(nèi)，取 ，左邊 ，原不等式為假．831(,]2?x213?所以原不等式的解集為 ．8[1,)無理不等式通常要進(jìn)行“兩邊平方”的變形，但這只是在一定條件下才是等價(jià)變形，所以必須就 的不同取值范圍進(jìn)行討論，因此相對來說計(jì)算是比較困難的．利用介值定理x則計(jì)算簡單，而且易于理解． [6] 解不等式 ．1)43(log2??x解 設(shè) 原不等式等價(jià)于不等式 )．?)(xF?x 0(?xF的定義域?yàn)? , 解方程 ，得方程解 ，)(x1,??)2(0)(?xF25??將定義域 分成三個(gè)小區(qū)間 列表如下：),(?,( ),25,1()??),(表 21所以，原不等式的解集為 ．)1,(???)2,5(可見, 以介值定理為基礎(chǔ), 將不等式的定義域分成若干區(qū)間, 然后找出不等式解集的方法是解不等式解集的一種非常實(shí)用的方法．求解一般形式的不等式 (或 )的一般方法歸納如下:)(xgf?(xgf?x)1,(??),25,1(?)2,5(?)(0F0?06?F03?F?x是解集 不是解集 是解集(1)設(shè) ；)()(xgfxF??(2)求出 的定義域, 即 和 定義域的交集；f)(xg(3) 解出 的所有解( )；0)xn?.21(4) 利用這些解將定義域分成 個(gè)小區(qū)間；?n(5) 在每個(gè)小區(qū)間內(nèi)取一個(gè)特殊點(diǎn) ,通過 的符號判別 在此區(qū)間內(nèi)的符號；0x)(0xF)(xF(6) 找出使 (或 )的所有區(qū)間,這些區(qū)間的并集即是所求不等式的0)?xF?解． 介值定理在證明等式中的應(yīng)用介值定理在證明等式方面也有廣泛應(yīng)用．正是由于介值定理的廣泛使用，才使得一些較復(fù)雜的等式能夠輕而易舉地被證明出來．其中積分中值定理的證明就用到了介值定理． 設(shè)函數(shù) 在 上連續(xù)，在 內(nèi)可導(dǎo)，且 ， ．則對于任)(xf]1,0[)1,0(0)(?f1)(f意給定的正數(shù) ．求證：存在 ，使下列式子成立：ba, 2?x．)(1fa??)(2fb?a?證明 （證法一）因?yàn)?， ，所以 ，又因?yàn)?在 上連續(xù)，0?10??)(xf]1,0[且 ， ．由介值定理知，必有 ，使0)(?f1)(f ?),(?．?)(fba由于 在 上連續(xù)，在 內(nèi)可導(dǎo)，函數(shù) 由拉格朗日中值定理有：)(xf],[),0()(xf， ．10fx??????211f????)10(21?x?其 中即有 ,)(01????xfba,1)(2????xfba將兩式相加得，??)(1xfba1)(2??f整理式子即有．)(1xfa?)(2fb?a 設(shè) 在 上連續(xù)，且 ，證明在 內(nèi)至少存在一點(diǎn) ，使)(xf],[badc?),(b?得 成立．其中 均為任意正的常數(shù)．)()(?fqpdqcpf??qp,證明 (證法一)作輔助函數(shù) ，)()((dqfcfxfxF???由題設(shè)知， 在 上連續(xù)，又xF],[,bac?， ．)]()(dfcq?)]([)(cfp由于 均為任意正的常數(shù)，有qp,．qF?)( 0)]([2??f當(dāng) 時(shí)， ，則 均可取作所求的；當(dāng) 時(shí)，)(dfc?0)(dcdc, )(dfc?，由根的存在定理可知，至少存在一點(diǎn) ，使 ，即0)(?F ],[,bad???0??F．)(()(fqpqfcpf??（證