二階常微分方程的解法及其應(yīng)用本科畢業(yè)論文(編輯修改稿)
2025-07-15 12:44 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 特征根,因而與這對(duì)共軛復(fù)根對(duì)應(yīng)的,方程有兩個(gè)復(fù)值解 ()(cosin)ittet??????, ()itt??. 根據(jù)定理可知,對(duì)應(yīng)于特征方程的一對(duì)共軛復(fù)根 i?????,我們可求的方程20dxpqtt??的兩個(gè)實(shí)值解 cos,intte???. 特征根有重根的情形 設(shè)特征方程有 k重根 1,??則眾所周知 39。 (1)() 0,kFF???? ()1k?, 先設(shè) 10??,即特征方程有因子 k,于是 11nnkaa????? , 也就是特征方程的形狀為 10nkn???????, 而對(duì)應(yīng)的方程 ??11nnndxLaaxtt????變?yōu)? 10knnnyddyx?????. 易見它有 k個(gè)解1, 2,ktt?? ,特征方程的k重零根就對(duì)應(yīng)方程的 個(gè)線性無關(guān)的解1, 21,ktt?? .如果這個(gè) k重根 10??,我們作變量變換 1txye??,注意到 11()()()(1)2()11!ttmmmmmeyyy? ????? ???? ?? ??，可得 ??1 111()nnt ttndyLebbyeLt? ???????????,于是對(duì)應(yīng)方程化為 ??11 0nnndybbytt?????, 其中 123,nb? 仍為常數(shù),而相應(yīng)的特征方程為 11() 0nnGbb???????, 直接計(jì)算易得 1111()() ()tttt tFeLeGe?????????? ?????????,因此 1()(FG????,從而 1()(jj， ,2jk? ,這樣,問題就化為前面討論過的情形了. 常數(shù)變易法常數(shù)變易法是求解微分方程的一種很重要的方法,常應(yīng)用于一階線性微分方程的求解。在常數(shù)變易法中，通過將常數(shù) C 放入 當(dāng)中就可以得到非齊次線??XU性方程的通解。它是拉格朗日十一年的研究成果，我們所用僅是他的結(jié)論，并無過程。它是連接非齊次線性微分方程與相應(yīng)的齊次線性微分方程的橋梁。對(duì)于二階常系數(shù)非線性常微分方程的解法,只要先求出其一個(gè)特解,再運(yùn)用特征方程法求得方程的通解.求常微分方程 2()dxpqfttt??的通解. 解 方程2()xftdtt對(duì)應(yīng)齊次方程為 20dxpqtt??,其特征方程為 2? . 由于方程2()dxpqfttt??的通解等于其對(duì)應(yīng)的齊次線性微分方程的通解與其自身的一個(gè)特解之和，而二階常系數(shù)齊次線性微分方程的通解我們已經(jīng)研究過了,所以此處只需求出其一個(gè)特解. 若 ?為上面方程的實(shí)根,則 txe??是方程20dxpqtt??法設(shè)2()dxpqfttt?的一個(gè)解為 *()tce?,代入原方程并化簡得 39。()2)(()tctpcef?????, 這是關(guān)于 39。()ct的一階線性微分方程,其一個(gè)特解為 ??(2)()()ptptctefdt????????????,從而得上面方程的一個(gè)特解為 *(2)()tptptxft??????????. 若 ?為上面方程的復(fù)根,我們可以設(shè) ,abiR??且 0b?，則*sinatxeb?是方程2()dxpqfttt?的解，根據(jù)常數(shù)變易法可設(shè)其一個(gè)特解為 *()iatc，與情形 1 的解法類似得方程2()dxpqfttt??的一個(gè)特解為 (2)(2)* ?????由于 *x是特解,則積分常量可以都取零. 拉普拉斯變換法拉普拉斯變換法是工程數(shù)學(xué)中常用的一種積分變換法，又名拉氏轉(zhuǎn)換法。拉氏變換法是一個(gè)線性變換法，可將一個(gè)有因數(shù)實(shí)數(shù) 的函數(shù)轉(zhuǎn)換為)0(?t一個(gè)因數(shù)為復(fù)數(shù) s 的函數(shù)。有些情形下一個(gè)實(shí)變量函數(shù)在實(shí)數(shù)域中進(jìn)行一些運(yùn)算并不容易，但若將實(shí)變量函數(shù)作拉普拉斯變換，并在復(fù)數(shù)域中作各種運(yùn)算，再將運(yùn)算結(jié)果作拉普拉斯反變換來求得實(shí)數(shù)域中的相應(yīng)結(jié)果，往往在計(jì)算上容易得多。拉普拉斯變換的這種運(yùn)算步驟對(duì)于求解線性微分方程尤為有效，它可把微分方程化為容易求解的代數(shù)方程來處理，從而使計(jì)算簡化。在經(jīng)典控制理論中，對(duì)控制系統(tǒng)的分析和綜合，都是建立在拉普拉斯變換的基礎(chǔ)上的。引入拉普拉斯變換的一個(gè)主要優(yōu)點(diǎn)，是可采用傳遞函數(shù)代替常系數(shù)微分方程來描述系統(tǒng)的特性。這就為采用直觀和簡便的圖解方法來確定控制系統(tǒng)的整個(gè)特性、分析控制系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)過程，以及提供控制系統(tǒng)調(diào)整的可能性。常系數(shù)線性微分方程可以應(yīng)用拉普拉斯變換法進(jìn)行求解，這往往比較簡單。由積分 ()()0stFsefd?????.所定義的確定于復(fù)平面（ Re??）上的復(fù)變數(shù) s的函數(shù) ()Fs,稱
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