二階常微分方程的解法及其應用本科畢業(yè)論文-資料下載頁
2025-06-18 12:44本頁面
【正文】 同類項系數可以得到3,55?,這樣就可以進一步得到1324sin0cos55xtt??,根據以上所得到的結果沒那么原方程所存的通解就可以表述為 515324()sin0cos305ttxtAeBtt????.在以上的公式當中，初始條件決定 ,AB的數值，而其中的瞬態(tài)解是之前的兩項，瞬態(tài)項能夠對于整個系統(tǒng)的自由衰減振動進行有效描述，而所能夠起作用的只是在震動的開始階段，而當經歷比較長的時間之后，瞬態(tài)解所起到的影響則會逐漸的減弱并且在最后階段消失。穩(wěn)態(tài)解則是之后的兩項，穩(wěn)態(tài)解則是對于系統(tǒng)受到驅動力的作用之下進行強制振動的狀態(tài)進行描述，這主要是由于立足于恒定的幅值條件下，從而將這種狀態(tài)稱之為穩(wěn)定振動。從以上的公式可以得到，如果質點振動系統(tǒng)受到外力作用之后，整個系統(tǒng)有著比較復雜的振動狀態(tài)，這屬于穩(wěn)態(tài)振動和自由衰減振動兩者的有機合成體，在這樣的振動狀態(tài)之下對于強迫振動當中逐步建立穩(wěn)態(tài)振動的過程進行有效描述。如果經歷一定時間之后，就會消失瞬態(tài)振動，使得整個系統(tǒng)保持著穩(wěn)態(tài)振動的狀態(tài)。 常數變易法 從之前的分析當中可以了解到 5txe??這屬于特征方程 2075???的實根，那么就可以得到 5txe??這個屬于方程（9）當中的一個根，然后通過常數變異法設置 *5()txc，那么在這一過程當中也可以得到方程的一個解為 *x，把數值代入到（9）當中并且進行簡化之后可以得到 39。5()10cos30tctet??.以上屬于 39。()ct的一階線性微分方程,并且在方程當中一個特解為39。55184()sin30cos30t tctee??,從而得出（9）的一個特解為（取 12） *5551284()(sin30cos30)tt txeedtc????? itt,從而可得（9）的通解 515324()sin0cos305ttxtAeBtt????.由之前可知 2dxmckFtt??. （10）將數據代入公式中可以得到 204cos(2)dxxttt??. （11）按照自己所做的觀察可以發(fā)現，在進行求解的過程當中使用常數變異法，首要就是必須得出公式（11） ，而在之前的研究當中可以得到公式（11）齊次線性微分方程的特征方程為 204???。這樣就可以進一步的假設特征方程的根為103i????，那么 1()sin(03)txtet?這就是公式（11）的一個解。由常數變易法可設為 *10()si()ttct??.與情形 1 中的解法類似，將 x代入（12）并化簡得*109()sin(2)cos(2)39643604ttt?.由于 *x是特解,則積分常量可以都取零。 拉普拉斯變換法 依然使用之前的例子，由牛頓第二運動定律可以得到以下的公式 2dxmckFtt??,將這一公式代入數據之后可以得到 204cos(2)dxxttt??, (12)由于質點通過開設的靜止狀態(tài)逐步運動，那么就可以得到以下的公式 0,tdxt?,對方程(12)進行拉普拉斯變換,得到 2 2()0()4()4ssXsX???,即 21()40sXs??,把上式右端分解為部分分式 22109()39643604sXss??? 2222108()(1)()(3)s???,由拉普拉斯變換表可得 09()sin()cos()39643604xttt?? 1 10i cos(3)82t tetet??。4 總結及意義總而言之，現在常微分方程在很多學科領域內有著重要的應用，自動控制、各種電子學裝置的設計、彈道的計算、飛機和導彈飛行的穩(wěn)定性的研究、化學反應過程穩(wěn)定性的研究等?，F今對于二階常微分方程解法的研究已經取得了不少成就，尤其在二階常系數線性微分方程的求解問題方面卓有成效。而冪級數解法作為求解二階變系數齊次線性微分方程的一種方法，其過程還是比較繁瑣的，計算量偏大，且需要考慮函數是否解析，冪級數在某個區(qū)間是否收斂等。另外，對于二階常系數非齊次線性微分方程，目前還尚有通用的求解方法，只有一些特殊類型是可以求解的。應該說，應用常微分方程理論已經取得了很大的成就，但是，它的現有理論也還遠遠不能滿足需要，還有待于進一步的發(fā)展，使這門學科的理論更加完善。參考文獻[1] (瑞典)()著,[M].科學出版社,2022：121147[2] 趙慈庚,[M].中國青年出版社,1984:7491[3] [M].高等教育出版社,1978:3953[4] 李瑞遐,[M].華東理工大學出版社,2022：4158[5] 余德浩,[M].科學出版社,2022：1421[6] [J].韶關(02)：3847[7] 弭魯芳,[J].聊城大學學報(自然科學版).2022(04):2426+28[8] 趙慧娟,陳偉麗,趙晨霞,析[J].(08):83[9] 李孝誠,[J].(04)：9699[10] 韋程東,高揚,實踐[J].數學的實踐與認識 2022(20)：228233[11] [J].系統(tǒng)科學與數(01)：9198
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