【正文】 （二） 解的延拓定理 如果方程 ()右端 的 函數(shù) ),( yxf 在 有界 區(qū)域內(nèi)連續(xù) ，且 在 G 內(nèi) 關(guān)于 y 滿足局部利普希茲條件， 則 方程 ()的通過 G 內(nèi)任意一點(diǎn) ),( 00 yx 的解 )(xy ?? 可以延拓，直到點(diǎn)))(,( xx? 任意接近區(qū)域 G 的邊界．以向 x 增大的一方的延拓來說，如果 )(xy ?? 只能延拓到區(qū)間 mxx ??0 上，則當(dāng) mx? 時(shí)， ))(,( xx? 趨于區(qū)域 G 的邊界． （三） 推論 如果 G 是無界區(qū)域，在上面解的延拓定理的條件下， 方程 ()的通過 ),( 00 yx 的解)(xy ?? 可以延拓，以向 x 增大的一方的延拓來說，有下面兩種情況： (1) 解 )(xy ?? 可以延拓到區(qū)間 ),[ 0 ??x ； (2) 解 )(xy ?? 只可以延拓到區(qū)間 ),[ 0 mx ，其中 m 為有限數(shù)，則當(dāng) mx? 時(shí)，或者 )(xy ?? 無 界，或者點(diǎn) ))(,( xx? 趨于區(qū)域 G 的邊界． 三、 解對(duì)初值的連續(xù)性和可微性定理 （一） 解關(guān)于初值的對(duì)稱性 定理 設(shè)方程 ()的滿足初始條件 00)( yxy ? 的解是唯一的，記為),( 00 yxxy ?? ，則在表達(dá)式中， ),( yx 和 ),( 00 yx 可以調(diào)換其相對(duì)位置，即在解的存在范圍內(nèi)成立著關(guān)系式 ),( 00 yxxy ?? （二） 解對(duì)初值的連續(xù)依賴性 1引理 如果函數(shù) ),( yxf 在某區(qū)域 D 內(nèi)連續(xù)，且關(guān)于 y 滿足利普希茲條 件， 則對(duì)方程 ()的任意兩個(gè)解 )()( xx ?? 和 ，在它們的公共存在區(qū)間成立著不等式 0xxL00 e|)()(||)()(| ???? xxxx ???? () 其中 0x 為所考慮區(qū)間內(nèi)的某一值． 2 解對(duì)初值的連續(xù)依賴性 定理 設(shè) ),( yxf 在區(qū)域 G 內(nèi)連續(xù)，且關(guān)于 y 滿足局部利普希茲條 件，Gyx ?),( 00 ， ),( 00 yxxy ?? 是 ( ) 的滿足初始條件 00)( yxy ? 的解，它在區(qū)間 bxa ?? 上有定義 )( 0 bxa ?? ， 則 對(duì) 于 任 意 給 定 的 0?? ， 存 在 正 數(shù) ),( ba??? ? 使 得 當(dāng)2202100 )()( ????? yyxx 時(shí)， 方程 ()的滿足條件 00)( yxy ? 的解 ),( 00 yxxy ?? 在區(qū)間bxa ?? 上也有定義，并且 bxayxxyxx ???? ,|),(),(| 0000 ??? 3解對(duì)初值的連續(xù)性 定理 若 ),( yxf 在區(qū)域 G 內(nèi)連續(xù)，且關(guān)于 y 滿足局部利普希茲條件， 則 方程 ()的解 ),( 00 yxxy ?? 作為 00, yxx 的 函數(shù)在它的存在范圍內(nèi)是連續(xù)的． (三 )解對(duì)初值的可微性 1 解對(duì)初值的可微性 定理 若 ),( yxf 及yf??都 在區(qū)域 G 內(nèi)連續(xù)， 則 方程 ()的解 ),( 00 yxxy ?? 作為 00, yxx 的函數(shù)在它的存在范圍內(nèi)是可微的． 例題 假設(shè)函數(shù) ),( yxf 及yf??都在區(qū)域 G 內(nèi)連續(xù)，又 ),( 00 yxxy ?? 是方程 ),( yxfy ?? 滿足初始條件 ),( 0000 yxxy ?? 的解，試證0y??? 存在且連續(xù)，并寫出其表達(dá)式。 證 1）因 ),( yxf 及yf??都在區(qū)域 G 內(nèi)連續(xù)，則 f 在 G 內(nèi)滿足局部利普希茲條件，故解 ),( 00 yxxy ?? 在它的存在范圍內(nèi)對(duì) 00, yxx 連續(xù)。 2）設(shè)由初值 ),( 00 yx 和 0000 ),( yyyx ??? 足夠小，所確定的解分別為 ),( 00 yxxy ?? 和 ),( 000 yyxxy ??? ? ， 則這兩個(gè)解均滿足積分方程 ??? xx dxyxfyy 0 ),(0 。 即 ??? xx dxφxfyφ 0 ),(0 和 ????? xx dxψxfyyψ 0 ),(00 ， 所以 ???????????????????????xxxxxxdxryxfydxyxfydxxfxfy000)](),([ )())(,( )],(),([1000????????????? 其中 1r 是關(guān)于 000 , yyxx ? 的連續(xù)函數(shù)，且當(dāng) 00 ??y 時(shí)， 01?r 于是有 ? ? ??????? ? xx dxyryxfy 0 010 ]),([1 ????? ， 即0yz ??? ?? 是初值問題 ??????????1)(]),([01xzzryxfdxdz ? 的解，因此0yz ??? ?? 是 000 , yyxx ? 的連續(xù)函數(shù)。由上邊微分方程解得 ? ??????? xx dxryxfeyz 0 1 ]),([0??? ， 故存在 ? ???? ?????? xx dxyxfy eyy00]),([000lim ???? ， ? ????? xx dxy φxfeyφ 0 ]),([0， 顯然，它是 00, yxx 的連續(xù)函數(shù)。 評(píng)注： 我們看到，在0y??? 表達(dá)式中，包含有方程 ),( yxfy ?? 滿足初始條件 ),( 0000 yxxy ?? 的解，一般來說，初值問題解的表達(dá)式很難得到，因此，偏導(dǎo)數(shù)公式 ? ?????xx dxy φxfeyφ 0 ]),([0的實(shí)際應(yīng)用并不廣泛，但理論上表明初值問題解對(duì)初值的連續(xù)可微性。 總結(jié)： 本文研究了解的存在唯一性定理并在常微分方程的基礎(chǔ)上，分別用皮卡的逐步逼近法、歸納法、和格朗瓦爾不等式法證明了解的存在唯一性定理的唯一性： 對(duì)解存在但是否唯一做了分析，給出了解的唯一性的一點(diǎn)注記，使讀者加深了對(duì)唯一性定理的理解和條件上的限制：并且對(duì)解的初值的性質(zhì) 進(jìn)行了分析。 參考文獻(xiàn) [1] 王高雄 周之銘 朱思銘 王壽松 常微分方程（第三版） [M].北京高等教育出版社 2021 [2] 楊繼明 常系數(shù)線性微分方程組的解法 [J]。寶雞文理學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版） 2021,3447. [3] 伍卓群 李勇編 常微分方程（第三版） [M],北京：高等教育出版社 ,2021. [4] 楊繼明 蔡炯輝 常系數(shù)非齊次線性微分方程組初值問題的求解公式 [J].寶雞文理學(xué)院學(xué)報(bào)（自 然科學(xué)版） 。2021,4562. [5] 胡建偉 湯懷民 常微分方程數(shù)值解法 [M],北京：科學(xué)出 版社 .1999. [6] 周義倉 常微分方程及其應(yīng)用 .[M] .北京 高等教育出版社 1985. [7] 尤秉禮 常微分方程補(bǔ)充教程 .[M] .北京 人民教育出版社 ,1981