【正文】 [ 0 ,1 ]( 1 )m a x | | | | 1 | | | | | | | |( 1 ) ( 1 )ma a a aiiitt A t tx x xAa??????????? ? ???? ? ? ? ?? ? ????. 所以由定理 知，映射 T 至少存在一個(gè)不動(dòng)點(diǎn) .所以 分?jǐn)?shù)階邊值問題（ 1）至少有一個(gè)解 ． 3 分?jǐn)?shù)階微分方程的應(yīng)用 在近三百年中，數(shù)學(xué)工作者們對(duì)分?jǐn)?shù)階微積分一些理論的研究主要是在數(shù)學(xué)的純理論的范圍內(nèi)進(jìn)行的研究，似乎只有數(shù)學(xué)家們才運(yùn)用到它們 .而在最近三十年中，分?jǐn)?shù)階微分方程更多的被用來描述控制和機(jī) 器人、熱學(xué)系統(tǒng)和光學(xué)、信號(hào)處理和系統(tǒng)識(shí)別、力學(xué)系統(tǒng)和流變學(xué) 及一些其他應(yīng)用領(lǐng)域中的問題，下面給出一些具體例子說明分?jǐn)?shù)階微分方程在實(shí)際中的應(yīng)用： 粘彈性材料的模型 在力學(xué)中，彈性形變與理想彈性材料的彈力滿足胡克定律，用公式表示也即 ( ) ( )t E t??? ， 然而應(yīng)變與理想狀態(tài)下牛頓流體的應(yīng)力則服從下面的方程 宿州學(xué)院畢業(yè)論文 一類分?jǐn)?shù)階微分方程解的存在性 13()() dtt dt???? ． 粘彈性材料力學(xué)中既不是理想流體，同時(shí)也不是理想固體，它是處在理想流體與理想固體之間的材料，所以，粘彈性材料符合的數(shù)學(xué)模型有如下表示： ( ) ( ) , ( 0 1 )at D t a? ? ?? ? ?． uPID? 控制模型 在經(jīng)典的 PID 控制器輸出方程中， 無論是微分還是積分均為整數(shù)階的，隨著這些年來分?jǐn)?shù)階微積分的發(fā)展，對(duì)微分的階數(shù)和積分的次數(shù)的要求可以是分?jǐn)?shù)，更廣泛的說可以為任意的實(shí)數(shù) ． 它的傳輸函數(shù)是： ()( ) , , 0 .() up I DUaG a K K a K a uEa ? ??? ? ? ? ? 輸出函數(shù)為： ( ) ( ) ( ) ( )uP I Du t K e t K D e t K D e t??? ? ?． 如果 1u???，則為經(jīng)典的 PID 控制器；如果 0,1 ?? u? 為一般控制器，如果 1,0 ?? u?為 PD 控制器 ． 分?jǐn)?shù)階條件下的控制相比整數(shù)階條件的控制具有許多的良好性能，而且使得控制變得更加的精確，它能更加容易的消除靜態(tài)誤差，抵抗高頻的噪音等等 ． 分?jǐn)?shù)階微分方程的控制在應(yīng)用領(lǐng)域包括：機(jī)器人的控制、液態(tài)動(dòng)作器柔性的機(jī)械臂活動(dòng)等許多運(yùn)動(dòng)方面的控制問題 ． 變分原理 在保守力學(xué)系統(tǒng)的研究中，所用到的一個(gè)非常重 要的方法便是變分原理，然而應(yīng)用變分原理推導(dǎo)出來的微分方程是整數(shù)階的 ． 對(duì)于非保守系統(tǒng)，如考慮摩擦力或者具有其他能量消耗的運(yùn)動(dòng)過程中，它就不成立了 ． 如果我們把 Lagrange 函數(shù)應(yīng)用到分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)中，變分原理便可以很直接的被應(yīng)用于非保守系統(tǒng) ． 分?jǐn)?shù)階微積分的廣泛應(yīng)用，使得Hamilton 力學(xué)， Lagrange 力學(xué)等在同一框架下可以得到完整地描述 ． 擴(kuò)散波動(dòng)方程 Nigmatullin 一維擴(kuò)散波動(dòng)方程是： 22( , )( , ) ,a u x tD u x t a Rx ????? 宿州學(xué)院畢業(yè)論文 一類分?jǐn)?shù)階微分方程解的存在性 14由此可知，若 1?a ，它是經(jīng)典擴(kuò)散方程也是拋物型方程；若 2?a ，它是經(jīng)典的波動(dòng)方程也是雙曲型方程，所以 Mainardi 把上面方程稱作擴(kuò)散波動(dòng)方程 ． 從以上的諸多例子能夠總結(jié)出，有諸多的問題若單純的應(yīng)用整數(shù)階導(dǎo)數(shù)，可能使得出的微分方程不一定是合適的，也許還可能使得到的微分方程是非常復(fù)雜的方程，不利于計(jì)算且所得到的計(jì)算結(jié)果與實(shí)際情形不一定吻合 ． 然而分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，使得所得到的微分方程不但非常簡(jiǎn)潔 ，便于計(jì)算而且所得到的結(jié)果更加符合實(shí)際情況 ． 因此，當(dāng)人們?cè)诳紤]一個(gè)難題時(shí)，會(huì)把它想象的非常的復(fù)雜，其實(shí)這并不是因?yàn)殡y題本身有多么的復(fù)雜，而是因?yàn)槲覀儧]有找到解決問題的合適方法 ． 上述介紹的分?jǐn)?shù)階微分方程就是這樣一種解決難題，將復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化的重要工具 ． 當(dāng)然，在分?jǐn)?shù)階微積分的研究過程中，還存在這許多的問題值得我們?nèi)ヌ骄?． 其中存在的一個(gè)問題便是，整數(shù)階導(dǎo)數(shù)的研究有很清晰的物理和幾何意義，但分?jǐn)?shù)階微積分的研究，科學(xué)家們至今也未能發(fā)現(xiàn)合適的物理和幾何的解釋 ． 然而 毋庸置疑的是分?jǐn)?shù)階微積分在研究實(shí)際應(yīng)用問題中的作用是不可 或缺的 ． 結(jié)束語 分?jǐn)?shù)階微分方程在數(shù)學(xué)的實(shí)際應(yīng)用研究中越來越廣泛，且占有很大的比重 ． 在物理力學(xué)及控制等科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域通常應(yīng)用分?jǐn)?shù)階微分方程來描述其中的問題 ． 實(shí)際上，在處理分?jǐn)?shù)階微分方程解的存在的同時(shí)，我們自然的想到證明常微分方程解的存在唯一性定理的方法，把這種方法拓展到一般的分?jǐn)?shù)階微分方程上同樣適用 ． 另外對(duì)于非線性分?jǐn)?shù)階微分方程，可應(yīng)用 Banach 壓縮映射原理及 Schauder 不動(dòng)點(diǎn)定理證明其解的存在性并給出在對(duì)應(yīng)的方法下一類分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題至少存在一個(gè)解的幾個(gè)充分條件 ． 對(duì)分?jǐn)?shù)階微分方程研究過程中針對(duì) 方程數(shù)值解方面，現(xiàn)有分?jǐn)?shù)階數(shù)值算法還不成熟 ． 對(duì)解的理論研究方面，幾乎所有結(jié)果全都假定了滿足李氏條件，而且證明方法也可以說只是經(jīng)典微分方程理論的一個(gè)延拓 ． 然而它在解決實(shí)際應(yīng)用問題中，分?jǐn)?shù)階微分方程是對(duì)復(fù)雜系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)學(xué)建模的有力工具，它對(duì)復(fù)雜系統(tǒng)的描述具有建模簡(jiǎn)單、描述準(zhǔn)確等諸多的優(yōu)點(diǎn)，因而成為研究復(fù)雜力學(xué)和物理過程進(jìn)行數(shù)學(xué)建模的重要工具之一 ． 宿州學(xué)院畢業(yè)論文 一類分?jǐn)?shù)階微分方程解的存在性 15參考文獻(xiàn) [1] 程其襄 ,張奠宙 ,魏國(guó)強(qiáng)等 . 實(shí)變函數(shù)與泛函分析基礎(chǔ) [M ]. 北京 :高 等教育出版社 , 2021. [2] 張恭慶 ,林源渠 . 泛函分析講義 [M]. 北京 :北京大學(xué)出版社 , 1987. [3] 王高雄 ,周之銘 ,朱思銘 . 常微分方程 [M]. 北京 :高等教育出版社 ,2021. [4] 周文學(xué) . 分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題解的存在性 [J]. 應(yīng)用泛函分析學(xué)報(bào) , 2021,13(4):10091327. [5] 張萌 ,孫書榮 ,趙以閣等 . 一類分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題解的存在性 [J]. 濟(jì)南大學(xué)學(xué)報(bào) , 2021,24(2):16713559. [6] GAN SIQING. Dissipativity of methods for nonliner volterra deayintegrodifferential equations[J]. J Comput Appl Math,2021,206(2):898— 907. [7] 楊軍 ,馬俊馳 ,趙碩 . 分?jǐn)?shù)階微分方程多點(diǎn) 分?jǐn)?shù)階 邊值問題 [J]. 數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí) , 2021,41(4):17893522. [8] 蘇新衛(wèi) ,劉蘭冬 . 分?jǐn)?shù)階微分方程解的存在性 [J]. 山西大學(xué)學(xué)報(bào) ,2021,32( 4):144148. [9] 王福興 ,周激流 ,蒲亦非 . 分?jǐn)?shù)微積分方 程 的應(yīng)用研究 [M]. 北京 :科學(xué)出版社 ,2021. [10] 張慧慧 . 一類分?jǐn)?shù)階微分方程 m 點(diǎn)邊值問題解 的存在性 [J]. 黑龍江科技學(xué)院學(xué)報(bào) ,2021,21(5):16710118. 宿州學(xué)院畢業(yè)論文 一類分?jǐn)?shù)階微分方程解的存在性 16致 謝 論文工作在老師和同學(xué)的幫助下，現(xiàn)在已經(jīng)完成了．寫作過程中也遇到很多困難，但是在老師和同學(xué)的幫助下也都全部克服了．這里我要特別感謝我的論文指 導(dǎo)老師 —— 陳攀峰老師．她對(duì)我進(jìn)行了無私的指導(dǎo)，不厭其煩的對(duì) 論 文進(jìn)行 修改，尤其在論文的細(xì)節(jié)修改上給了我很大的幫助和啟 發(fā)．另外在查詢參考資料，室友和同學(xué)也都給了我很大的幫助．也要感謝參考書目、論文的作者，沒有他們的文獻(xiàn)，我根本不可能完成這項(xiàng)工作．同樣要感謝圖書館的管理員，在我借閱參考書目和下載電子參考文獻(xiàn)時(shí)，他們也給我提供了諸多的幫助．