【正文】 調(diào)查。內(nèi)積空間是對(duì)歐氏空間的一般化。內(nèi)積空間和度量空間都在 泛函分析 中得到了探討。歐氏空間是一個(gè)特別的 度量空間 ，它使得我們能夠?qū)ζ涞?拓?fù)?性質(zhì)，在包含了 歐氏幾何 和 非歐幾何 的 流形 的定義上發(fā)揮了作用。在公元前 300 年， 古希臘 數(shù)學(xué)家 歐幾里得 建立了 角 和 空間 中距離之間聯(lián)系的法則，現(xiàn)稱為歐幾里得幾何。歐幾里得首先開(kāi)發(fā)了處理平面上 二維物體 的“ 平面幾何 ”，他接著分析 三維 物 體的“ 立體幾何 ”，所有歐幾里得的公理已被編排到叫做二維或三維歐幾里得空間的抽象數(shù)學(xué)空間中。這些數(shù)學(xué)空間可以被擴(kuò)展來(lái)應(yīng)用于任何有限維度，而這種空間叫做 ?n 維歐幾里得空間（甚至簡(jiǎn)稱 ??n維空間）或有限維實(shí)內(nèi)積空間。 這些數(shù)學(xué)空間還可被擴(kuò)展到任意維的情形，稱為實(shí) 內(nèi)積空間 （不一定完備）， 希爾伯特空間 在 高等代數(shù) 教科書(shū)中也被稱 為歐幾里得空間。為了開(kāi)發(fā)更高維的歐幾里得空間，空間的性質(zhì)必須嚴(yán)密地表達(dá)并被擴(kuò)展到任意維度。盡管這樣做的結(jié)果導(dǎo)致數(shù)學(xué)非常抽象，但卻捕獲了我們熟悉的歐幾里得空間的根本本質(zhì)，即平面性。還另存在其他種類(lèi)的空間， 18 例如 球面 則非歐幾里得空間， 相對(duì)論 所描述的 四維 時(shí)空 在重力出現(xiàn)的時(shí)候也不是歐幾里得空間。有一種方法論把歐幾里得平面看作滿足可依據(jù)距離和角表達(dá)的特定聯(lián)系的點(diǎn)所成的集合。其一是 平移 ，它意味著移動(dòng)這個(gè)平面就使得所有點(diǎn)都以相同方向移動(dòng)相同距離。其二是關(guān)于在這個(gè)平面中固定點(diǎn)的 旋轉(zhuǎn) ，其中在平面上的所有點(diǎn)關(guān)于這個(gè)固定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)相同的角度。歐幾里得幾何的一個(gè)基本原則是，如果通過(guò)一序列的平移和旋轉(zhuǎn)可以把一個(gè)圖形變換成另一個(gè)圖形，平面的兩個(gè)圖形（也就是 子集 ）應(yīng)被認(rèn)為是等價(jià)的（ 全等 ）。歐幾里得空間的最后問(wèn)題是它在技術(shù)上不是向量空間，而是向量空間作用于其上 仿射空間 。直覺(jué)上，區(qū)別在于對(duì)于 原點(diǎn) 應(yīng)當(dāng)位于這個(gè)空間的什么地方?jīng)]有標(biāo)準(zhǔn)選擇，因?yàn)樗梢缘教幰苿?dòng)。這種技術(shù)本文中很大程度上被忽略了。歐幾里德空間在對(duì)包含了歐氏幾何和非歐幾何的 流形 的定義上發(fā)揮了作用。一個(gè)定義距離函數(shù)的數(shù)學(xué)動(dòng)機(jī)是為了定義空間中圍繞點(diǎn)的開(kāi)球。這一基本的概念正當(dāng)化了在歐氏空間和其他流形之間的微分。微分幾何把微分，會(huì)同導(dǎo)入機(jī)動(dòng)性手法，局部歐氏空間，探討了非歐氏流形的許多性質(zhì)。歐幾里德空間是無(wú)窮大的。 定義 （歐幾里德空間） 設(shè) V 是 實(shí)數(shù)域 R 上的 線性空間 （或稱為 向量空間 ），若 V 上定義著正定對(duì)稱 雙線性型 g（ g 稱為 內(nèi)積 ），則 V 稱為（對(duì)于 g 的） 內(nèi)積空間 或歐幾里德空間（有時(shí)僅當(dāng) V 是有限維時(shí)，才稱為歐幾里德空間）。具體來(lái)說(shuō)， g 是 V 上的二元實(shí)值函數(shù)，滿足如下關(guān)系： a. ),(),( xygyxg ? 。 b. ),(),(),( zygzxgzyxg ??? 。 c. ),(),( yxkgykxg ? 。 d. 0),( ?xxg ,而且 0),( ?xxg 當(dāng)且僅當(dāng) 0?x 時(shí)成立。 這里 x ,y ,z 是 V 中任意向量， k 是任意 實(shí)數(shù) 。 利普希茨連續(xù)條件 利普希茨連續(xù)條件（ Lipschitz continuity）是以德國(guó)數(shù)學(xué)家魯?shù)婪蚶障４拿?，是一個(gè)比一致連續(xù)更強(qiáng)的光滑性條件。直觀上，利普希茨連續(xù)函數(shù)限制了函數(shù)改變的速度，符合利普希茨條件的函數(shù)的斜率，必小于利普希茨常數(shù)。 在微分方程理論中，利普希茨條件是初值條件下解的存在唯一性定理中的一個(gè)核心條件。 一些特殊的利普希茨函數(shù)，例如壓縮映射，被應(yīng)用在巴拿赫不動(dòng)點(diǎn)定理中。 19 定義 利普希茨連續(xù)條件 若存在常數(shù) L ，使得對(duì)定義域 D 的任意兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)21,xx 均有： 2121 )()( xxLxfxf ??? 成立，則稱 )(xf 在 D 上滿足利普希茨條件， L 稱為利普希茨常數(shù)，顯然地，若 )(xf 滿足利普希茨條件，則 )(xf 一致連續(xù)。 馬爾科夫過(guò)程 馬爾可夫過(guò)程（ Markov process）是一類(lèi) 隨機(jī)過(guò)程 。它的原始模型 馬爾可夫鏈 ，由俄國(guó)數(shù)學(xué)家 于 1907 年提出。 1951 年前后， 伊藤清 建立的隨機(jī)微分方程的理論，為 馬爾可夫 過(guò)程的研究開(kāi)辟了新的道路。 1954 年前后， 將半群方法引入馬爾可夫過(guò)程的研究。流形上的馬爾可夫過(guò)程、馬爾可夫 向量場(chǎng) 等都是正待深入研究的領(lǐng)域。它的原始模型 馬爾可夫鏈 ，由俄國(guó)數(shù)學(xué)家 1907 年提出。人們?cè)趯?shí)際中常遇到具有下述特性的隨機(jī)過(guò)程：在已知它所處的狀態(tài)的條件下，它未來(lái)的演變不依賴于它以往的演變。這種已知“現(xiàn)在”的條件下，“將來(lái)”與“過(guò)去”獨(dú)立的特性稱為馬爾可夫性，具有這種性質(zhì)的隨機(jī)過(guò)程叫做馬爾可夫過(guò)程。 荷花池 中一只青蛙的跳躍是馬爾可夫過(guò)程的一個(gè)形象化的例子。青蛙依照它瞬間或起的念頭從一片荷葉上跳到另一片荷葉上，因?yàn)榍嗤苁菦](méi)有記憶的，當(dāng)所處的位置已知時(shí)，它下一步跳往何處和它以往走過(guò)的路徑無(wú)關(guān)。如果將荷葉編號(hào)并用 , 210 ?xxx 分別表示青蛙最初處的荷葉號(hào)碼及第一次、第二次、??跳躍后所處的荷葉號(hào)碼，那么 ? ?0, ?nxn 就是 馬爾可夫 過(guò)程。液體中微粒所作的布朗運(yùn)動(dòng)，傳染病受感染的人數(shù)，原子核中一自由電子在 電子層 中的 跳躍，人口增長(zhǎng)過(guò)程等等都可視為馬爾可夫過(guò)程。還有些過(guò)程（例如某些遺傳過(guò)程）在一定條件下可以用馬爾可夫過(guò)程來(lái)近似。 關(guān)于馬爾可夫過(guò)程的理論研究， 1931 年 《 概率 論的解析方法》，首先將微分方程等分析方法用于這類(lèi)過(guò)程，奠定了它的理論基礎(chǔ)。 1951 年前后， 伊藤清在 ，建立了隨機(jī)微分方程的理論，為研究 馬爾可夫 過(guò)程開(kāi)辟了新的道路。 1954 年前后， 泛函分析 中的 半群 方法引入馬爾可夫過(guò)程 的研究中，鄧肯等并賦予它概率意義（如特征算子等）。 50 年代初，角谷靜夫和 .杜布 等發(fā)現(xiàn)了 布朗運(yùn)動(dòng) 與偏微分方程論中 狄利克雷 問(wèn)題的關(guān)系，后來(lái) 當(dāng)一般的馬爾可夫過(guò)程（亨特過(guò)程）與位勢(shì)的關(guān)系。 流形 上的馬爾可夫過(guò)程、馬爾可夫場(chǎng)等都是正待深入研究的領(lǐng)域。 20 在馬爾可夫性的定義中， 現(xiàn)在 是指固定的時(shí)刻，但實(shí)際問(wèn)題中常需把馬爾可夫性中的“現(xiàn)在”這個(gè)時(shí)刻概念推廣為停時(shí)（見(jiàn)隨機(jī)過(guò)程）。例如考察從圓心出發(fā)的平面上的布朗運(yùn)動(dòng)，如果要研究首次到達(dá)圓周的時(shí)刻 ? 以前的事件和以后的事件的條件獨(dú)立性，這里 T 為停時(shí)，并且認(rèn)為 T 是“現(xiàn)在”。如果把“現(xiàn)在”推廣為停時(shí)情形的“現(xiàn)在”，在已知“現(xiàn)在”的條件下，“將來(lái)”與“過(guò)去”無(wú)關(guān)，這種特性就叫強(qiáng)馬爾可夫性。具有這種性質(zhì)的馬爾可夫過(guò)程叫強(qiáng)馬爾可夫過(guò)程。在相當(dāng)一段時(shí)間內(nèi)，不少人認(rèn)為馬爾可夫過(guò)程必然是強(qiáng)馬爾可夫過(guò)程。首次提出對(duì)強(qiáng)馬爾可夫性需要嚴(yán)格證明的是 。直到 1956 年，才有人找到馬爾可夫過(guò)程不是強(qiáng)馬爾可夫過(guò)程的例子。馬爾可夫過(guò)程理論的進(jìn)一步發(fā)展表明，強(qiáng)馬爾可夫過(guò)程才是馬爾可夫過(guò)程真正研究的對(duì)象。 21 3 本文的主要結(jié)果 隨機(jī)微分方程的均方有界解 上文已經(jīng)提到，即使對(duì)于常微分方程，人們也沒(méi)有一種簡(jiǎn)單的方法僅依靠系數(shù)上附加的條件判定微分方程是否存在有界解。本文中我們證明了一個(gè)有助于判定隨機(jī)微分方程有界解判定的結(jié)論，內(nèi)容如下： 定理 設(shè)（ )的系數(shù)滿足條件 )(H ,并且在全空間上對(duì) x 一致地滿足周期性，即，存在 0?T ，使得對(duì)任意 dRx? ， Rt? ，有 ),(),( xTtfxtf ?? ),(),( xTtgxtg ?? . （ ） 對(duì) Rt?0 ，（ ）有定義在 ? ???,0t 上的解 ? 滿足： MtEtt ??2)(sup0? ，對(duì)某個(gè) 0?M , 則（ ）有定義在 R 上的解 ?~ ，使得， MtERt ??2)(~sup ? . 證明：由于系數(shù)滿足對(duì)時(shí)間的周期性，因而必定在一個(gè)緊集上取值。進(jìn)而，由周期性，對(duì)任意序列 ? ?n?? ??? ，在 ???n 時(shí)， ????n? ，我們可以找到一個(gè)恰當(dāng)?shù)淖恿? ? ??? ??? n ，使得對(duì)任意緊集 RS? , ),(lim: xtffTnn ?? ?? ??? ),(lim: xtggTnn ?? ?? ???. 在 SR? 上一致存在。對(duì)此，我們選擇 f 為例進(jìn)行證明， gT? 的原理與此是一致的： 對(duì)任意正整數(shù) ??Zn ，顯然對(duì)區(qū)間 ? ?nn, ， ? ? Snn ?, 是乘積空間 dRR? 上的一個(gè)緊集。于是利用著名的 ArzelaAscoli 引理，存在子列 ? ? ??? ??? n ， 使得函數(shù)序列 ? ?),( xtf n?? ，對(duì)于所有 RS? ，在集合 ? ? Snn ?, 上一致收斂 ， 不 妨記這個(gè)收斂的極限為 ),( xtFn 。由函數(shù) f 的連續(xù)性以及數(shù)學(xué)分析的知識(shí)可知， 諸極限 ),( xtFn 仍然是連續(xù)函數(shù)，并且不難驗(yàn)證，),( xtFn 仍然滿足條件 )(H 。 我們現(xiàn)在往證 ? ?),( xtFn 對(duì)任意有界區(qū)間 ? ? RbaI ?? , 以及 S ,在 SI? 上仍存在收斂的子列。注意到，若有序列列 Ist nn ?, 以及 Sxn? ,使得 0?? nn st ，且， 22 0),(),( 0 ??? ?nnnnnn xsFxtF ， 其中 0? 為常數(shù)，則由于所有的 ),( xtFn 均于同一緊集內(nèi)取值，故 ? ?),( nnn xtF 及 ? ?),( nnn xsF 存在收斂子列，而注意到 Sxn? 以及區(qū)間 I 的緊性，因而 nt ， ns 也存在收斂子列，為符號(hào)的簡(jiǎn)化，我們將此類(lèi)收斂子列一概記為序列自身，則當(dāng) ???n 時(shí)， Sxxn ?? , Ittn ?? ,Issn ?? 。從而 st? 。于是利用 nF 的連續(xù)性，我們得出了矛盾：對(duì)任意 ），（ 20 0??? ，當(dāng) n 充分大，使得 ? ?nnI ,?? 時(shí)， ?????????),(),(),(),(),(),(0nnnnnnnnnnnnnn xsFxtFxtFxtF xsFxtF （ ） 從而上述 fT? ， gT? 存在。在上述論證中，即使 ??? n? ，實(shí)際上并不影響結(jié)論。 根據(jù)文獻(xiàn) [12]第五章中關(guān)于隨機(jī)微分方程解與布朗運(yùn)動(dòng)的選取之間的聯(lián)系的論述我們知道 ,對(duì)任意 0tst ?? 以及定義在某個(gè)概率空間 ），（ PF,? 上的布朗運(yùn)動(dòng) ),( ?tWW? ， 不妨設(shè)： ? ???? ts ts rdWrrgdrrrfst )())(,())(,()() ???? （， 為方程（ )的一個(gè)解，我們知道 ,這個(gè)解的存在是由于系數(shù)滿足條件 )(H 以及前文引述的隨機(jī)微分方程解對(duì)初值的存在性。于是根據(jù)這種存在性，我們可以假設(shè)有一列解 )(tn? , nf , ng 和 )(tWn ,則 )(tn? 為定義在 [? ???? ,0 nt ? 上的滿足： Mrntr ??? 2)(sup0 ?? 的解，并且對(duì) ntst ???? 0 , )())(,())(,()()( rdWrrgdrrrfstnnts nts nnn ???? ?? ???. 對(duì)任意 Ra? ， n 足夠大時(shí)， n? 在 ? ???,a 上有定義，從文獻(xiàn) [4]中關(guān)于鞅不等式的論證可知， ??n? 存在子列于 ? ???,a 中任意緊區(qū)間上，依分布收斂至某個(gè) )~ t（? ，并且對(duì)某個(gè)布朗運(yùn)動(dòng) W~ ,這個(gè)極限在區(qū)間 ? ???,a 上，滿足方程： ? ???? ts ts rWdrrgdrrrfst )(~))(~,())(~,()(~)(~ ????. 這個(gè)方程其實(shí)是（ ）自身。選擇一列 na ，使之收斂至 ? ,利用對(duì)角線法則 我們可以對(duì) ??n? 抽出適當(dāng)?shù)淖恿?，使之?R 上所有緊區(qū)間上依分布一致收斂至 ?~ 的分布。從而 ?~ 是方程（ ）的一個(gè)定義在 R 上的解，進(jìn)而由 Fatou 引理可知： 23 1)(s up)(~s up 2220??? ??? MrEtEntrRt?? ?， 從而 ?~ 是一個(gè)有界解，證畢。 24 4 結(jié)論 本文中我們簡(jiǎn)略介紹了有關(guān)常微分方程以及隨機(jī)微分方程有界解存在性判定的研究背景，和主要結(jié)論的證明中會(huì)涉及