【正文】 調查。內積空間是對歐氏空間的一般化。內積空間和度量空間都在 泛函分析 中得到了探討。歐氏空間是一個特別的 度量空間 ，它使得我們能夠對其的 拓撲 性質，在包含了 歐氏幾何 和 非歐幾何 的 流形 的定義上發(fā)揮了作用。在公元前 300 年， 古希臘 數(shù)學家 歐幾里得 建立了 角 和 空間 中距離之間聯(lián)系的法則，現(xiàn)稱為歐幾里得幾何。歐幾里得首先開發(fā)了處理平面上 二維物體 的“ 平面幾何 ”，他接著分析 三維 物 體的“ 立體幾何 ”，所有歐幾里得的公理已被編排到叫做二維或三維歐幾里得空間的抽象數(shù)學空間中。這些數(shù)學空間可以被擴展來應用于任何有限維度，而這種空間叫做 ?n 維歐幾里得空間（甚至簡稱 ??n維空間）或有限維實內積空間。 這些數(shù)學空間還可被擴展到任意維的情形，稱為實 內積空間 （不一定完備）， 希爾伯特空間 在 高等代數(shù) 教科書中也被稱 為歐幾里得空間。為了開發(fā)更高維的歐幾里得空間，空間的性質必須嚴密地表達并被擴展到任意維度。盡管這樣做的結果導致數(shù)學非常抽象，但卻捕獲了我們熟悉的歐幾里得空間的根本本質，即平面性。還另存在其他種類的空間， 18 例如 球面 則非歐幾里得空間， 相對論 所描述的 四維 時空 在重力出現(xiàn)的時候也不是歐幾里得空間。有一種方法論把歐幾里得平面看作滿足可依據(jù)距離和角表達的特定聯(lián)系的點所成的集合。其一是 平移 ，它意味著移動這個平面就使得所有點都以相同方向移動相同距離。其二是關于在這個平面中固定點的 旋轉 ，其中在平面上的所有點關于這個固定點旋轉相同的角度。歐幾里得幾何的一個基本原則是，如果通過一序列的平移和旋轉可以把一個圖形變換成另一個圖形，平面的兩個圖形（也就是 子集 ）應被認為是等價的（ 全等 ）。歐幾里得空間的最后問題是它在技術上不是向量空間，而是向量空間作用于其上 仿射空間 。直覺上，區(qū)別在于對于 原點 應當位于這個空間的什么地方沒有標準選擇，因為它可以到處移動。這種技術本文中很大程度上被忽略了。歐幾里德空間在對包含了歐氏幾何和非歐幾何的 流形 的定義上發(fā)揮了作用。一個定義距離函數(shù)的數(shù)學動機是為了定義空間中圍繞點的開球。這一基本的概念正當化了在歐氏空間和其他流形之間的微分。微分幾何把微分，會同導入機動性手法，局部歐氏空間，探討了非歐氏流形的許多性質。歐幾里德空間是無窮大的。 定義 （歐幾里德空間） 設 V 是 實數(shù)域 R 上的 線性空間 （或稱為 向量空間 ），若 V 上定義著正定對稱 雙線性型 g（ g 稱為 內積 ），則 V 稱為（對于 g 的） 內積空間 或歐幾里德空間（有時僅當 V 是有限維時，才稱為歐幾里德空間）。具體來說， g 是 V 上的二元實值函數(shù)，滿足如下關系： a. ),(),( xygyxg ? 。 b. ),(),(),( zygzxgzyxg ??? 。 c. ),(),( yxkgykxg ? 。 d. 0),( ?xxg ,而且 0),( ?xxg 當且僅當 0?x 時成立。 這里 x ,y ,z 是 V 中任意向量， k 是任意 實數(shù) 。 利普希茨連續(xù)條件 利普希茨連續(xù)條件（ Lipschitz continuity）是以德國數(shù)學家魯?shù)婪蚶障４拿?，是一個比一致連續(xù)更強的光滑性條件。直觀上，利普希茨連續(xù)函數(shù)限制了函數(shù)改變的速度，符合利普希茨條件的函數(shù)的斜率，必小于利普希茨常數(shù)。 在微分方程理論中，利普希茨條件是初值條件下解的存在唯一性定理中的一個核心條件。 一些特殊的利普希茨函數(shù)，例如壓縮映射，被應用在巴拿赫不動點定理中。 19 定義 利普希茨連續(xù)條件 若存在常數(shù) L ，使得對定義域 D 的任意兩個不同的實數(shù)21,xx 均有： 2121 )()( xxLxfxf ??? 成立，則稱 )(xf 在 D 上滿足利普希茨條件， L 稱為利普希茨常數(shù)，顯然地，若 )(xf 滿足利普希茨條件，則 )(xf 一致連續(xù)。 馬爾科夫過程 馬爾可夫過程（ Markov process）是一類 隨機過程 。它的原始模型 馬爾可夫鏈 ，由俄國數(shù)學家 于 1907 年提出。 1951 年前后， 伊藤清 建立的隨機微分方程的理論，為 馬爾可夫 過程的研究開辟了新的道路。 1954 年前后， 將半群方法引入馬爾可夫過程的研究。流形上的馬爾可夫過程、馬爾可夫 向量場 等都是正待深入研究的領域。它的原始模型 馬爾可夫鏈 ，由俄國數(shù)學家 1907 年提出。人們在實際中常遇到具有下述特性的隨機過程：在已知它所處的狀態(tài)的條件下，它未來的演變不依賴于它以往的演變。這種已知“現(xiàn)在”的條件下，“將來”與“過去”獨立的特性稱為馬爾可夫性，具有這種性質的隨機過程叫做馬爾可夫過程。 荷花池 中一只青蛙的跳躍是馬爾可夫過程的一個形象化的例子。青蛙依照它瞬間或起的念頭從一片荷葉上跳到另一片荷葉上，因為青蛙是沒有記憶的，當所處的位置已知時，它下一步跳往何處和它以往走過的路徑無關。如果將荷葉編號并用 , 210 ?xxx 分別表示青蛙最初處的荷葉號碼及第一次、第二次、??跳躍后所處的荷葉號碼，那么 ? ?0, ?nxn 就是 馬爾可夫 過程。液體中微粒所作的布朗運動，傳染病受感染的人數(shù)，原子核中一自由電子在 電子層 中的 跳躍，人口增長過程等等都可視為馬爾可夫過程。還有些過程（例如某些遺傳過程）在一定條件下可以用馬爾可夫過程來近似。 關于馬爾可夫過程的理論研究， 1931 年 《 概率 論的解析方法》，首先將微分方程等分析方法用于這類過程，奠定了它的理論基礎。 1951 年前后， 伊藤清在 ，建立了隨機微分方程的理論，為研究 馬爾可夫 過程開辟了新的道路。 1954 年前后， 泛函分析 中的 半群 方法引入馬爾可夫過程 的研究中，鄧肯等并賦予它概率意義（如特征算子等）。 50 年代初，角谷靜夫和 .杜布 等發(fā)現(xiàn)了 布朗運動 與偏微分方程論中 狄利克雷 問題的關系，后來 當一般的馬爾可夫過程（亨特過程）與位勢的關系。 流形 上的馬爾可夫過程、馬爾可夫場等都是正待深入研究的領域。 20 在馬爾可夫性的定義中， 現(xiàn)在 是指固定的時刻，但實際問題中常需把馬爾可夫性中的“現(xiàn)在”這個時刻概念推廣為停時（見隨機過程）。例如考察從圓心出發(fā)的平面上的布朗運動，如果要研究首次到達圓周的時刻 ? 以前的事件和以后的事件的條件獨立性，這里 T 為停時，并且認為 T 是“現(xiàn)在”。如果把“現(xiàn)在”推廣為停時情形的“現(xiàn)在”，在已知“現(xiàn)在”的條件下，“將來”與“過去”無關，這種特性就叫強馬爾可夫性。具有這種性質的馬爾可夫過程叫強馬爾可夫過程。在相當一段時間內，不少人認為馬爾可夫過程必然是強馬爾可夫過程。首次提出對強馬爾可夫性需要嚴格證明的是 。直到 1956 年，才有人找到馬爾可夫過程不是強馬爾可夫過程的例子。馬爾可夫過程理論的進一步發(fā)展表明，強馬爾可夫過程才是馬爾可夫過程真正研究的對象。 21 3 本文的主要結果 隨機微分方程的均方有界解 上文已經提到，即使對于常微分方程，人們也沒有一種簡單的方法僅依靠系數(shù)上附加的條件判定微分方程是否存在有界解。本文中我們證明了一個有助于判定隨機微分方程有界解判定的結論，內容如下： 定理 設（ )的系數(shù)滿足條件 )(H ,并且在全空間上對 x 一致地滿足周期性，即，存在 0?T ，使得對任意 dRx? ， Rt? ，有 ),(),( xTtfxtf ?? ),(),( xTtgxtg ?? . （ ） 對 Rt?0 ，（ ）有定義在 ? ???,0t 上的解 ? 滿足： MtEtt ??2)(sup0? ，對某個 0?M , 則（ ）有定義在 R 上的解 ?~ ，使得， MtERt ??2)(~sup ? . 證明：由于系數(shù)滿足對時間的周期性，因而必定在一個緊集上取值。進而，由周期性，對任意序列 ? ?n?? ??? ，在 ???n 時， ????n? ，我們可以找到一個恰當?shù)淖恿? ? ??? ??? n ，使得對任意緊集 RS? , ),(lim: xtffTnn ?? ?? ??? ),(lim: xtggTnn ?? ?? ???. 在 SR? 上一致存在。對此，我們選擇 f 為例進行證明， gT? 的原理與此是一致的： 對任意正整數(shù) ??Zn ，顯然對區(qū)間 ? ?nn, ， ? ? Snn ?, 是乘積空間 dRR? 上的一個緊集。于是利用著名的 ArzelaAscoli 引理，存在子列 ? ? ??? ??? n ， 使得函數(shù)序列 ? ?),( xtf n?? ，對于所有 RS? ，在集合 ? ? Snn ?, 上一致收斂 ， 不 妨記這個收斂的極限為 ),( xtFn 。由函數(shù) f 的連續(xù)性以及數(shù)學分析的知識可知， 諸極限 ),( xtFn 仍然是連續(xù)函數(shù)，并且不難驗證，),( xtFn 仍然滿足條件 )(H 。 我們現(xiàn)在往證 ? ?),( xtFn 對任意有界區(qū)間 ? ? RbaI ?? , 以及 S ,在 SI? 上仍存在收斂的子列。注意到，若有序列列 Ist nn ?, 以及 Sxn? ,使得 0?? nn st ，且， 22 0),(),( 0 ??? ?nnnnnn xsFxtF ， 其中 0? 為常數(shù)，則由于所有的 ),( xtFn 均于同一緊集內取值，故 ? ?),( nnn xtF 及 ? ?),( nnn xsF 存在收斂子列，而注意到 Sxn? 以及區(qū)間 I 的緊性，因而 nt ， ns 也存在收斂子列，為符號的簡化，我們將此類收斂子列一概記為序列自身，則當 ???n 時， Sxxn ?? , Ittn ?? ,Issn ?? 。從而 st? 。于是利用 nF 的連續(xù)性，我們得出了矛盾：對任意 ），（ 20 0??? ，當 n 充分大，使得 ? ?nnI ,?? 時， ?????????),(),(),(),(),(),(0nnnnnnnnnnnnnn xsFxtFxtFxtF xsFxtF （ ） 從而上述 fT? ， gT? 存在。在上述論證中，即使 ??? n? ，實際上并不影響結論。 根據(jù)文獻 [12]第五章中關于隨機微分方程解與布朗運動的選取之間的聯(lián)系的論述我們知道 ,對任意 0tst ?? 以及定義在某個概率空間 ），（ PF,? 上的布朗運動 ),( ?tWW? ， 不妨設： ? ???? ts ts rdWrrgdrrrfst )())(,())(,()() ???? （， 為方程（ )的一個解，我們知道 ,這個解的存在是由于系數(shù)滿足條件 )(H 以及前文引述的隨機微分方程解對初值的存在性。于是根據(jù)這種存在性，我們可以假設有一列解 )(tn? , nf , ng 和 )(tWn ,則 )(tn? 為定義在 [? ???? ,0 nt ? 上的滿足： Mrntr ??? 2)(sup0 ?? 的解，并且對 ntst ???? 0 , )())(,())(,()()( rdWrrgdrrrfstnnts nts nnn ???? ?? ???. 對任意 Ra? ， n 足夠大時， n? 在 ? ???,a 上有定義，從文獻 [4]中關于鞅不等式的論證可知， ??n? 存在子列于 ? ???,a 中任意緊區(qū)間上，依分布收斂至某個 )~ t（? ，并且對某個布朗運動 W~ ,這個極限在區(qū)間 ? ???,a 上，滿足方程： ? ???? ts ts rWdrrgdrrrfst )(~))(~,())(~,()(~)(~ ????. 這個方程其實是（ ）自身。選擇一列 na ，使之收斂至 ? ,利用對角線法則 我們可以對 ??n? 抽出適當?shù)淖恿校怪?R 上所有緊區(qū)間上依分布一致收斂至 ?~ 的分布。從而 ?~ 是方程（ ）的一個定義在 R 上的解，進而由 Fatou 引理可知： 23 1)(s up)(~s up 2220??? ??? MrEtEntrRt?? ?， 從而 ?~ 是一個有界解，證畢。 24 4 結論 本文中我們簡略介紹了有關常微分方程以及隨機微分方程有界解存在性判定的研究背景，和主要結論的證明中會涉及