微分方程及其定解條件、等效積分-資料下載頁(yè)
2025-05-15 04:17本頁(yè)面
【正文】 條件的等效積分及等效積分 “弱”形式。 0k k Qx x y y?? ??? ? ? ??? ? ? ?????? ? ? ?????00 qkqn?? ? ???? ? ? ? ??? ?? ? ? ????這個(gè)例子中，第一個(gè)邊界條件，我們已經(jīng)知道這是第一 邊界條件或 Direchlet邊界條件，在有限元或其他基于等 效積分的近似解求解方法中，一般要事先選擇待求函數(shù) 的近似函數(shù)，在選擇這個(gè)近似函數(shù)時(shí)，就事先滿足第一 邊界條件了，相當(dāng)于強(qiáng)制要求近似函數(shù)滿足第一邊界條 件，因此這個(gè)邊界條件一般不出現(xiàn)在等效積分中，這也 是為什么第一邊界條件又稱為強(qiáng)制邊界條件的原因。 這個(gè)微分方程及邊界條件的等效積分為： d d = 0qv k k Q v k qx x y y n? ? ????? ??? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ??? ??? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ???????,vv 是使上面積分可計(jì)算的任意標(biāo)量函數(shù) 下面來(lái)推導(dǎo)它的“弱”形式，根據(jù)微分學(xué)知識(shí) vv k v k kx x x x x xvv k v k ky y y y y y? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?第一項(xiàng)積分，就可以改寫了 dd vv k v k kx x x x x x? ? ?????? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?????dd vv k v k ky y y y y y? ? ?????? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?????這里，我們把和的積分拆開(kāi)成積分的和，因?yàn)?ppt 太小，寫不下。先來(lái)看有下劃線的兩項(xiàng)之和。利用 格林公式 +dddv k v kx x y yv k x v k yyx???????????? ? ? ? ? ????????????? ? ? ????? ?????? ? ? ? ???? ? ??? ?????? ????????ddddQPxyxyP x Q y??????????????????. 格林公式 下面要用到線積分知識(shí)和幾何關(guān)系了，這個(gè)圖中給出 的是求解域和邊界的一部分 以及邊界的單位切矢量和單位 法向量。根據(jù)對(duì)弧長(zhǎng)和對(duì)坐標(biāo) 兩類曲線積分和幾何關(guān)系可以 得到 ???nt+dddddxyv k v kx x y yv k x v k yyxk v n n k vx y n????? ? ????? ? ? ?????? ? ? ? ? ????????????? ? ? ????? ?????? ? ? ? ???? ? ??? ?????? ????????? ? ?? ? ? ? ???? ? ???????現(xiàn)在，可以寫成等效積分“弱”形式的初始形式了 ddd d dqqv k k Q v k qx x y y nvvk Q v k v k qx x y y n n? ? ?? ? ? ???? ? ? ??? ??? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ??? ??? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ???????? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ??? ? ? ? ? ???????? ? ?下劃線部分就是等效積分“弱”形式，根據(jù)需要， 后兩項(xiàng)積分可以化簡(jiǎn)，由于 可以是任意的函數(shù) 只要能使積分可以運(yùn)算，那我們就選取 ,vvqvv???邊界條件有兩個(gè) 00 qkqn?? ? ???? ? ? ? ??? ?? ? ? ????在第一邊界條件成立的部分邊界上， 0n?? ??這樣等效積分的“弱”形式可以化簡(jiǎn)為， d d dd d d0qqvvk Q v k v k qx x y y n nvvk Q v k v qx x y y n?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ???? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ??? ? ? ? ? ???????? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ????? ? ?? ? ?思考題： 試推導(dǎo)三維穩(wěn)態(tài)傳熱問(wèn)題微分方程及邊界條件的等效 積分“弱”形式，邊界條件有兩個(gè)，第一邊界條件和 第二邊界條件
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