微分方程及其定解條件、等效積分-文庫吧資料
2025-05-23 04:17本頁面
【正文】 要對 做出一些限制 ,v v u對 ，由于是我們可以選擇的函數(shù)，那就選擇那些 單值，且在求解域和求解域邊界上可積分的函數(shù)就可以 ,vv對 ，雖然是待求解，我們也可以定性的給出它的一個(gè) 性質(zhì)，它的選擇要根據(jù)微分方程的階數(shù)來選擇，如果微 分方程（組）中最高微分階次為 n，那么待求解必然是一 個(gè)具有 n1階連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，這樣的函數(shù)也稱為具有 Cn1連續(xù) 性。 現(xiàn)在，我們來看一般的微分方程組的情況，之前曾 介紹過，微分方程組及其邊界條件可以表示為： ? ? ? ? ? ? ? ? T T12 , , , [ 0 ]mmA A A??????A u u u u? ? ? ? ? ? ? ? T T12 , , , [ 0 ]kkB B B??????B u u u u像上面拉普拉斯方程等效積分形式分析的過程一樣，對 微分方程組中每一個(gè)微分方程，以下的積分都是成立的 ? ? ? ? ? ?1 1 2 2d 0 , d 0 , , d 0nnv A v A v A? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?u u u12, , , nv v v都是任意的函數(shù)，把這些積分加起來 ? ? ? ? ? ?? ?1 1 2 2 d0nnv A v A v A? ? ? ? ? ?? u u u對于邊界條件也一樣，只是積分是沿邊界積分 ? ? ? ? ? ?? ?1 1 2 2 d0kkv B v B v B?? ? ? ? ? ?? u u u上面這兩個(gè)積分，我們可以寫成矢量形式 ? ? ? ? ? ?? ? ? ?T1 1 2 2 d d 0nnv A v A v A?? ? ? ? ? ? ? ???u u u v A u? ? ? ? ? ?? ? ? ?T1 1 2 2 d d 0kkv B v B v B? ? ? ?? ? ? ? ? ? ???u u u v B u? ? ? ?TT1 2 1 2, , , , , ,nnv v v v v v??vv這兩個(gè)積分加起來，就得到想要得到的結(jié)果了 ? ? ? ?TT d d 0? ? ?? ? ? ???v A u v B u這就是微分方程組 等效積分形式 的一般式，它與原微分 方程完全等效，就像之前以拉普拉斯方程為例進(jìn)行討論 的情況一樣。這就是拉普拉斯方程及其邊界條件的 等效積分形 式 。下面我們就將見到一種 微分方程的普遍規(guī)律或者說普遍的變換形式 —— 等效積分 形式 雖然是要推導(dǎo)一個(gè)普遍規(guī)律，但為了便于說明，我們還 是從一個(gè)簡單的特例出發(fā)，這個(gè)特列就是剛才提到的二 維拉普拉斯方程及其邊界條件 ? ?2222 0xy??????? ? ? ? ???A? ?00 qkqn?? ? ?? ??? ? ? ? ??? ? ?? ? ? ????B這個(gè)二維拉普拉斯方程的求解域是一個(gè)平面區(qū)域 ?x?y?在求解域內(nèi)的一個(gè)小區(qū)域內(nèi) 拉普拉斯方程也是成立的， 也就是 2222 0 [ ]xyxy?? ??? ? ? ? ? ? ???如果方程兩邊同時(shí)乘以這個(gè)小區(qū)域的面積，結(jié)果會(huì)是 這樣 2 2 2 22 2 2 2 0 [ ]S x y x yx y x y? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?設(shè)想把求解域劃分成若干個(gè)小區(qū)域，也就是說求解域的 面積等于這些小區(qū)域面積和 12 ni i iiiS S S SS x y? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ???對于每一個(gè)小區(qū)域來說，剛才的推導(dǎo)也是成立的 2 2 2 22 2 2 2 0 [ ]i i i i iS x y x yx y x y? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?現(xiàn)在我們把它對所有小區(qū)域求和 現(xiàn)在我們把它對所有小區(qū)域求和 2222 0iiixyxy?????? ? ? ? ????????再進(jìn)一步，如果我們?nèi)〉男^(qū)域趨向無窮小，也就是 0 。 拓展 前面我們看到了三個(gè)典型問題的微分方程，實(shí)際中遇到 的、使用的、包括我們自己在分析問題時(shí)建立的微分方 程是非常多的，為了便于研究，我們采用一種符號表示 法來表示微分方程，例如： ? ? ? ?0A ??? ? ?這個(gè)表達(dá)式代表任意一個(gè)微分方程，就像我們用 f(x) 表示任意函數(shù)的道理一樣 ,同樣，邊界條件我們也可以用 符號表達(dá) ? ? ? ?0B ??? ? ? ?例如，在一個(gè)平面區(qū)域內(nèi)的拉普拉斯方程 2222 0xy?? ??? ? ? ? ???并且有邊界條件 0????? ? ? ?2222 0A xy??????? ? ? ? ???? ? ? ?0B ? ? ? ?? ? ? ? ? ?這是一個(gè)微分方程和一個(gè)邊界條件，單個(gè)待求函數(shù)的情 況，這種表示方法也可以拓展到微分方程組，多個(gè)待求 函數(shù)和多個(gè)邊界條件的情況。準(zhǔn)確的定義，大家可以參考數(shù)學(xué)物理方程的 有關(guān)書籍和資料 有限元方法特別適合求解橢圓微分方程或方程組。 下面來看
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