微分方程及其定解條件、等效積分-在線瀏覽
2025-07-18 04:17本頁面
【正文】 ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?010 , 0 ,uT t k u t txuT l t k u l t tx???????? ??????? ??這個邊界條件的物理意義是，弦的端點固定在兩個 彈性支撐上，兩個彈性支撐的彈性系數(shù)為： k0， k1 以上是弦振動的數(shù)學(xué)模型，是由微分方程與相應(yīng)的定 解條件（初值條件，邊值條件）共同組成的，這一樣 問題又稱為 混合初邊問題 。定解條件中只有邊值條件的， 稱為 邊值問題。由于待求變量與 時間無關(guān)，不需要初值條件因此位勢方程的定解條件 類似三維熱傳導(dǎo)方程的三種邊界條件， ? ?,T x y z??? ? ? ?, , ,T x y z tn ???? ??? ?,T h T x y zn ?????????????現(xiàn)在我們來回顧一下剛才介紹的幾個微分方程 22222uuaftx??????0T T T Tc k k k ft x x y y z z????? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ???2222 2 2TTT gx y z???? ? ?? ? ?2222 2 2 0TTTx y z???? ? ?? ? ?第一個微分方程，方程兩邊微分的最高階數(shù)都是 2，如 果做移項整理 22222uuaftx??????這個方程的形式和雙曲線方程的形式很類似 2222xy cab??這類的方程又稱為雙曲型微分方程 再看第二個方程，現(xiàn)在加上物體均勻，為了幾何上更 直觀這個方程可以，我們寫出一維的情況 202TTc k ftx????????這個方程形式和拋物線方程形式類似 2y ax c??這類方程又稱為拋物型微分方程 最后再看位勢方程，為了幾何直觀，我們寫成二維的 情況 2222TT gxy??????這個方程形式和橢圓方程形式類似 2222 1xyab??這類方程又稱為橢圓型微分方程 微分方程主要就分為這三個類型：拋物型；雙曲型；橢 圓型 請大家注意，我們并不是要討論三種類型的微分方程的 準(zhǔn)確定義。 現(xiàn)在來總結(jié)一下邊界條件，我們看到，在以上的三個 典型問題的微分方程中，給定的邊界條件都有三種： 第一種是給定待求函數(shù)在邊界處的數(shù)值，這種邊界條件 稱為第一邊界條件、 Direchlet邊界條件、強制邊界條件 第二種是給定待求函數(shù)在邊界處梯度或方向?qū)?shù)，這種 邊界條件稱為第二邊界條件、 Neumann邊界條件 第三種是給定邊界上待求函數(shù)及其方向?qū)?shù)的線性組合， 這種邊界條件稱為第三邊界條件 我們總結(jié)一下這一小節(jié)的內(nèi)容 ? 描述物理過程的微分方程主要分為三個類型：橢圓型、雙曲型、拋物型 ? 有限元法特別適合求解橢圓型微分方程 ? 邊界條件主要有三種：第一邊界條件（ Direchlet條件、強制邊界條件）、第二邊界條件（ Neumann條件）和第三邊界條件 思考題： 這小節(jié)中，三維熱傳導(dǎo)問題的微分方程和位勢方程、以 及哈密頓算子 給出的都是笛卡爾坐標(biāo)下的形式，試查閱 資料，并推導(dǎo)這些微分方程和算子在柱坐標(biāo)和球坐標(biāo)系 下的表達(dá)式。 可以用向量符號來表示待求解函數(shù)、微分方程組和邊界 條件 ? ? T12, , , nu u u?u帶求解函數(shù)向量 微分方程組向量 ? ? ? ? ? ? ? ? TT12 , , , [ 0 ]mmA A A??????A u u u u邊界條件向量 ? ? ? ? ? ? ? ? T T12 , , , [ 0 ]kkB B B??????B u u u u例如，在一個平面區(qū)域內(nèi)的拉普拉斯方程 2222 0xy?? ??? ? ? ? ???現(xiàn)在邊界條件有兩個，在一部分邊界上給定函數(shù)值，另一 部分的邊界上給定函數(shù)方向?qū)?shù)，這樣 ? ?2222 0xy??????? ? ? ? ???A? ?00 qkqn?? ? ?? ??? ? ? ? ??? ? ?? ? ? ????B了解微分方程的抽象數(shù)學(xué)表達(dá)對理論研究是很有幫助的， 因為在研究微分方程的一般性質(zhì)或推導(dǎo)一些微分方程的 一般規(guī)律時，我們不可能對每個微分方程都推導(dǎo)一遍，這 時抽象表達(dá)是 就發(fā)揮重要作用了。 0iixy? ? ? ?回憶一下，高等數(shù)學(xué)中定積分的概念，立刻就可以得到 2 2 2 22 2 2 200l im d d 0iiiixiyx y x yx y x y? ? ? ??????? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ??對于邊界條件我們同樣可以做類似的分析 ? ?2222 d d d d 0qx y l k q lx y n?? ? ???? ? ???? ? ???? ? ? ? ? ??? ??? ? ??????? ? ?上面的積分式成立根本原因是拉普拉
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