微分方程及其定解條件、等效積分-展示頁(yè)
2025-05-27 04:17本頁(yè)面
【正文】 第二個(gè)典型問(wèn)題：熱傳導(dǎo)問(wèn)題 三維非定常熱傳導(dǎo)問(wèn)題的微分方程為： 0T T T Tc k k k ft x x y y z z????? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ???c?k0f物體的比熱容 物體的密度 物體的熱傳導(dǎo)系數(shù) 物體內(nèi)部熱源強(qiáng)度 與弦振動(dòng)問(wèn)題類似，要想確定物體內(nèi)部的溫度場(chǎng)，除 了上面那個(gè)微分方程以外，還需要定解條件，定解條 件也包括兩種：初值條件和邊值條件 初值條件，是初始時(shí)刻物體的溫度場(chǎng) ? ?0 ,tT x y z?? ?邊值條件也有三種 第一種：給定邊界的溫度 ? ?,T x y z??? ?第二種：給定邊界的熱流量 ? ?, , ,T x y z tn ???? ??第三種：給定邊界的熱流量和溫度線性組合 ? ?,T h T x y zn ?????????????x y zT T T TT n n nn x y z? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?n下面來(lái)看第三個(gè)典型問(wèn)題：位勢(shì)方程 在三維熱傳導(dǎo)問(wèn)題中，如果溫度不隨時(shí)間變化，即 定常熱傳導(dǎo)，三維熱傳導(dǎo)方程可以寫為 0 0T T Tk k k fx x y y z z ???? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ???假定物體是均勻的，那么這個(gè)方程可以進(jìn)一步簡(jiǎn)化 2222 2 2TTT gx y z???? ? ?? ? ?這個(gè)方程又稱為泊松（ Poisson）方程 再進(jìn)一步，如果均勻物體中沒(méi)有熱源，穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)方程 為 2222 2 2 0TTTx y z???? ? ?? ? ?這就是我們熟悉的拉普拉斯方程（ Laplace） 以上給出的是泊松方程和拉普拉斯方程在笛卡爾坐標(biāo)系 下的形式，下面給出它們的算子形式，它們?cè)谄渌鴺?biāo) 也成立系 2T T g? ? ? ? ?2 0TT? ? ? ? ?泊松方程 拉普拉斯方程 其中，在笛卡爾坐標(biāo)系下： x y z? ? ?? ? ? ?? ? ?i j k稱為哈密頓（ Hamilton）算子 2 2 222 2 2x y z? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ?稱為拉普拉斯算子 從上面的算子表達(dá)式，再回憶我們學(xué)過(guò)的高等數(shù)學(xué)的 知識(shí)，哈密頓算子運(yùn)算的結(jié)果，是一個(gè)標(biāo)量場(chǎng)的梯度 是一個(gè)向量場(chǎng)，而反過(guò)來(lái)說(shuō)，如果一個(gè)向量場(chǎng)是一個(gè) 標(biāo)量場(chǎng)的梯度，這個(gè)向量場(chǎng)稱為有勢(shì)場(chǎng)，這個(gè)標(biāo)量場(chǎng) 稱為有勢(shì)場(chǎng)的位勢(shì)場(chǎng)或位勢(shì)函數(shù) 在定常熱傳導(dǎo)問(wèn)題中，溫度場(chǎng)的梯度為 T T TTx y z? ? ?? ? ? ?? ? ?i j k也就是說(shuō)，這個(gè)向量場(chǎng)是溫度場(chǎng)的梯度，是一個(gè)有勢(shì)場(chǎng) 而溫度場(chǎng)是這個(gè)有勢(shì)場(chǎng)的位勢(shì)場(chǎng)或位勢(shì)函數(shù)，這就是泊 松方程和拉普拉斯方程稱為位勢(shì)方程的原因 現(xiàn)在我們來(lái)看位勢(shì)方程的定解條件。定解條件中只有初值條件 的問(wèn)題稱為 初值問(wèn)題 。這一部分里，我們將看到以下內(nèi)容 ? 幾個(gè)典型物理問(wèn)題及其數(shù)學(xué)描述（微分方程和定解條件） ? 微分方程的類型 ? 微分方程的邊界條件 ? 微分方程及其邊界條件的等效積分原理 幾個(gè)典型的問(wèn)題 ?弦振動(dòng)問(wèn)題的微分方程及定解條件 ?傳熱問(wèn)題的微分方程及定解條件 ?位勢(shì)方程及定解條件 弦是一種抽象模型，工程實(shí)際中，可以模擬繩鎖、 電纜等結(jié)構(gòu)，如遠(yuǎn)距離輸電線路、一些橋梁的懸索、拉 鎖等；幾何上可以用一條線段（不一定是直線段）來(lái)表 示弦。 這里所說(shuō)的弦的振動(dòng)是弦的微小橫振動(dòng)，一定長(zhǎng)度 的、柔軟、均勻的弦，兩端拉緊，在垂直于弦線的外力下 做微小橫振動(dòng)，弦的運(yùn)動(dòng)發(fā)生在同一平面內(nèi)，弦的各點(diǎn)位 移與平衡位置垂直 x? ?,u x t弦的長(zhǎng)度 l，線密度為 ，弦的張力為 T ?O弦振動(dòng)的微分方程為： 22222uuaftx??????2 /aT ?? f是垂直于平衡位置的外力 這個(gè)微分方程雖然描述了弦振動(dòng)時(shí)各點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)， 但單純依靠這個(gè)微分方程，我們還不能唯一確定弦的 振動(dòng)，必須給出定解條件，定解條件主要有兩種，一 種是初始時(shí)刻弦的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，稱為 初始條件 ： ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?, 0 0, 0 0u x x x lux x x lt??? ? ??? ? ??初始時(shí)刻各點(diǎn)的位移 初始時(shí)刻各點(diǎn)的速度 另外一種定解條件是 邊界條件， 對(duì)于弦振動(dòng)問(wèn)題來(lái)說(shuō) 給定弦的兩個(gè)端點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，一般來(lái)說(shuō)邊界條件有 三種： 第一種給定弦端點(diǎn)的位移 ? ? ? ?? ? ? ?120,u t g tu l t g t???????第二種給定位移梯度的端點(diǎn)值 ? ? ? ?? ? ? ?0,uttxul t tx??????? ?????? ??位移的梯度表示弦線的撓度 第三種邊界條件是端點(diǎn)的位移和速度的線性組合是 一個(gè)已知函數(shù)，對(duì)于弦振動(dòng) ?
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