【正文】 ????? ? ? ???????? ? ? ? ? ? ??????? ?2. y f x y?? ?? ， 型特點(diǎn)：方程右端不含未知函數(shù) y 解法：令 y’ = t，則 y″= t’，于是原方程可化為以 t 為未知函 數(shù)的一階微分方程 t’= f(x ,t)． 25 0 .1yy x?? ????例 求 方 程 的 通 解解 令 y’= t，則 y″= t’， 代入原方程得 21ttx? ? ?分離變量得 121d t d xtx? ?兩邊積分得 ? ? 2l n l n 1 l nt x C? ? ? ? ?21t C x??即 ? ?21y C x? ??再積分得 ? ? 3 21 13y C x C? ? ?? ? 31 2 1 11 3y C x C C C??? ? ? ?????即例 6 如圖，位于坐標(biāo)原點(diǎn)的我艦向位于 x軸上 A(1,0)點(diǎn)處的敵艦發(fā) 射制導(dǎo)魚雷，魚雷始終對(duì)準(zhǔn)敵艦．設(shè)敵艦以常速 v0沿平行于 y 軸的直線行駛，又設(shè)魚雷的速率為 2v0，求魚雷的航行曲線方程． 解 設(shè)魚雷的航行曲線方程為 y = y(x)， 在時(shí)刻 ， 魚雷的坐標(biāo)為 P(x,y)， 敵艦 的坐標(biāo)為 Q(1, v0t)． 因?yàn)轸~雷始終對(duì)準(zhǔn)敵艦，所以 01v t yyx?? ??? ?0 1v t y x y?? ? ?即2 00 12xO P y d x v t????又 的 長 度 為令 y’= p，方程可化為 ? ?21112x p p?? ? ?? ? ? ?0 0 , 0 0yy ???這是不顯含 y的可降階微分方程 ,根據(jù)題意，初始條件為 分離變量可解得 ? ? 2112 11 ????? xCpp從上面兩式消去 v0t得： ? ? 20211 2 xy x y y d x??? ? ? ??兩邊關(guān)于 x求導(dǎo)得 : ? ? 2111 2y x y y y?? ? ? ?? ? ? ? ?即 ? ? 2111 2x y y?? ?? ? ?? ? 2112 11 ??????? xCyy即 ? ? 10 0 1yC? ??將 代 入 ， 得 ，? ? 12 211y y x ???? ? ? ?所以 ? ? 12 221 111 y y xyy ??? ? ? ? ?????而 ? ? ? ?1122111122y x x?? ? ? ? ?所以 ? ? ? ?1322 2111 3y x x C? ? ? ? ? ?積分得 以 y(0)= 0代入，得 223C ? ，所以魚雷的航行曲線方程為： ? ? ? ?13221211 33y x x? ? ? ? ? ?? ?3. y f y y?? ?? ， 型特點(diǎn)： 方程右端不含變量 x ? ?y P y? ?解 法 ： 令d P d P d y d PyPd x d y d x d y?? ? ? ? ?則從而將原方程化為一階微分方程： ? ?dPP f y Pdy ? ，24 0 .y y y?? ???例 求 方 程 的 通 解? ?y P y? ?解 令 dPyP dy?? ?則代入原方程得 2 0dPy P Pdy ??當(dāng) y≠0 ， P≠0 時(shí)，分離變量得： dP dyPy?兩端積分得： 1ln ln lnP y C?? 12 Cxy C e??當(dāng) P ＝ 0時(shí)，則 y = C（ C為任意常數(shù)）， 顯然，它已含在解 121 0Cxy C e C??中 （ ）所以原方程的通解為： 12 Cxy C e? 二階常系數(shù)線性微分方程 ? ? (1)y p y q y f x?? ?? ? ? 定義 形如 的方程 ， 稱為二階常系數(shù)線性微分方程 ． 其中 p,q為常數(shù) . 0 ( 2 )y p y q y?? ?? ? ?注 ① 當(dāng) f(x)≠0時(shí) ， 方程 (1)稱為二階常系數(shù)非齊次線性微分方程； ② 當(dāng) f(x)=0時(shí)，即 方程 (2)稱為二階常系數(shù)齊次線性微分方程． 二階常系數(shù)線性微分方程解的性質(zhì) 1． 齊次線性方程解的結(jié)構(gòu) 定義：設(shè) y1 = y1(x)與 y2 = y2(x)是定義在區(qū)間 (a,b)內(nèi)的函數(shù) ， 如果 存在兩個(gè)不全為零的常數(shù) k1 , k2， 使得對(duì)于 (a,b) 內(nèi)的任一 x恒有 k1 y1 + k2 y2 = 0成立，則稱 y1與 y2在 (a,b)內(nèi)線性相關(guān)， 否則稱為線性無關(guān)． 由定義知： y1與 y2線性相關(guān)的充分必要條件是 ? ?? ? ? ?21,yx k x a byx ??21yy若不恒為常數(shù)，則 y1與 y2線性無關(guān)． 22xx x xxee e ee????????如 與 線 性 無 關(guān) ；12.22xxxxeeee???????與 線 性 相 關(guān)定理 1 （齊次線性方程解的疊加原理） 若 y1與 y2是齊次線性方程 (2)的兩個(gè)解 ， 則 y = C1 y1+C2 y2也是 (2)的解 ， 且當(dāng)與線性無關(guān)時(shí) ， y = C1 y1+C2 y2就是式 (2)的通解 ． 證 將 y = C1 y1+ C2 y2 直接代入方程 (2)的左端，得 ? ? ? ? ? ?? ? ? ?1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 21 1 1 1 2 2 2 2120 0 0C y C y p C y C y q C y C yC y p y q y C y p y q yCC?? ?? ? ?? ? ? ? ??? ? ?? ?? ? ? ? ? ?? ? ?所以 y = C1 y1+C2 y2是方程 (2)的解 , 又 y1 與 y2線性無關(guān) ， C1和 C2是兩個(gè)獨(dú)立的任意常數(shù) , 即 y = C1 y1+C2 y2中所含獨(dú)立的任意常數(shù)的個(gè)數(shù)與方程 (2)的階數(shù) 相同 , 所以 它又是方程 (2)的通解 . 2． 非齊次線性方程解的結(jié)構(gòu) 定理 2 （ 非齊次線性方程解的結(jié)構(gòu) ） 若 yp為非齊次線性方程 (1)的某個(gè)特解 ， yc為方程 (1)所對(duì)應(yīng) 的齊次線性方程 (2)的通解 ， 則 y = yp+ yc為非齊次線性方程 (1) 之通解 ． 證 將 y = yp+ yc代入方程 (1)的左端有 所以 yp+ yc 確為方程 (1)的解 ． 又 yc 中含有兩個(gè)獨(dú)立的任意常數(shù) ， 所以 y = yp+ yc 中也含有兩獨(dú)立的任意常數(shù) ， 故 y = yp+ yc 為方程 (1)的通解． ? ? (1)y p y q y f x?? ?? ? ?設(shè)? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?0p c p c p cp p p c c cy y p y y q y yy py qy y py qyf x f x??? ? ? ? ??? ? ?? ?? ? ? ? ? ?? ? ?? ?1 ,y p y q y f x?? ?? ? ? 的 解定理 3 若 y1為方程 y2為方程 ? ?2 ,y p y q y f x?? ?? ? ? 的 解則 y = y1 + y2 為方程 ? ? ? ?12 ( 3 )y p y q y f x f x?? ?? ? ? ?的解 . 證： 將 y = y1 + y2代入方程 (3)左端