微分方程及其定解條件、等效積分(參考版)
2025-05-19 04:17本頁面
【正文】 利用 格林公式 +dddv k v kx x y yv k x v k yyx???????????? ? ? ? ? ????????????? ? ? ????? ?????? ? ? ? ???? ? ??? ?????? ????????ddddQPxyxyP x Q y??????????????????. 格林公式 下面要用到線積分知識和幾何關(guān)系了，這個圖中給出 的是求解域和邊界的一部分 以及邊界的單位切矢量和單位 法向量。 這個微分方程及邊界條件的等效積分為： d d = 0qv k k Q v k qx x y y n? ? ????? ??? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ??? ??? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ???????,vv 是使上面積分可計算的任意標量函數(shù) 下面來推導(dǎo)它的“弱”形式，根據(jù)微分學(xué)知識 vv k v k kx x x x x xvv k v k ky y y y y y? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?第一項積分，就可以改寫了 dd vv k v k kx x x x x x? ? ?????? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?????dd vv k v k ky y y y y y? ? ?????? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?????這里，我們把和的積分拆開成積分的和，因為 ppt 太小，寫不下。 總結(jié)與思考 ? 請大家理解用一般符號表示微分方程及邊界條件的方法 ? 請大家理解微分方程等效積分的概念，弄清楚為什么等效積分與微分方程及其邊界條件是等效的 ? 請牢記，微分方程及其邊界條件的等效積分是有限元的重要理論基礎(chǔ) ? 微分方程等效積分“弱”形式是從何而來，它與等效積分有什么關(guān)系？ ? 等效積分“弱”形式較之等效積分有什么好處？就是為什么要推導(dǎo)等效積分“弱”形式 例題： 二維導(dǎo)熱微分方程及其邊界條件的等效積分及等效積分 “弱”形式。 類似之前用符號表達微分方程一樣，我們把對 中每一個函數(shù)的微分運算用一個符號來表示，那么 等效積分分步積分后的表達式可以寫為： Tv Tv? ? ? ? ? ? ? ?d0TT d?? ? ? ? ???C v D u E v F u這就是 等效積分的“弱”形式 對于二維和三維的情況，直接從分步積分的方法推導(dǎo) 等效積分的“弱”形式，可能有些困難，可以利用數(shù) 學(xué)分析中“格林公式”和“高斯公式”推導(dǎo)。一個 微分方程 ? ?22d 0 0 1du u x xx? ? ? ? ?這個微分方程的等效積分形式 ? ?221 1 1220 0 0dd d d d 0uuv u x x v x v u x xxx? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ?要求待求解函數(shù)具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，現(xiàn)在對二階導(dǎo)數(shù) 部分進行分步積分 ? ?111000d d d d d 0d d du v uv x v u x xx x x??? ? ? ? ? ????? ??經(jīng)過這樣的分步積分之后，對待求函數(shù)的要求由原來 的具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，下降為連續(xù)可導(dǎo)，而對函數(shù) v 的要求則有原來的單值可積提高為連續(xù)可導(dǎo)。 ? ? ? ?TT d d 0? ? ?? ? ? ???v A u v B u從微分方程等效積分形式出發(fā)，如果要降低等效積分 中微分方程的階數(shù)要怎么辦呢？ 通過分步積分的方法可以降低等效積分中微分方程的階 數(shù)，代價是對 進行微分，等于說降低對待求函數(shù) 的要求，卻提高了對 連續(xù)性的要求。 u微分方程的最高階數(shù)對待求解提出了要求，但這種要求 有時過于苛刻，例如下面這個微分方程： 4 4 44 2 2 420w w wx x y x? ? ?? ? ?? ? ? ?這個微分方程的等效積分若可以計算 ， 則要求待解函數(shù) 具有 3階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) 。 上面分析中對等效積分中使用的任意函數(shù)以及微分 方程的解的性質(zhì)沒有做出任何限定，事實上，對它 們是有一定限制的，那就是它們應(yīng)該使得等效積分 式中的被積函數(shù)具有可積性或者說使積分能夠進行 計算 ? ? ? ?TT d d 0? ? ?? ? ? ???v A u v B u在這個積分式中， 要使這個積分存在，不能出現(xiàn) 無窮大的情況 ,v v u要達到這個目的，就
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