可降階的高階微分方程,高階線性微分方程及其通解結(jié)構(gòu)-資料下載頁
2025-05-12 17:48本頁面
【正文】 ny xy ?? ,常 數(shù)12c o s s i n .y C x C x x? ? ?21 12( ) ( ) ( ) ( )y P x y Q x y f x f x?? ?? ? ? ? ，1( ) ( ) ( )y P x y Q x y f x?? ?? ? ?2( ) ( ) ( )y P x y Q x y f x?? ?? ? ?設(shè)非齊次方程 (2)的右端 )(xf 是幾個函數(shù)之和， 若 而 *1y*2y與 分別是方程 的 特解， 那么 *2*1 yyy ??就是原方程的特解 . 定理 4. 解的疊加原理 定理 5. 是對應(yīng)齊次方程的 n 個線性無關(guān)特解 , 1 1 2 2( ) ( ) ( ) * ( )nny C y x C y x C y x y x? ? ? ? ? ? ? ?給定 n 階非齊次線性方程 ( ) ( 1 )1 ( ) ( ) ( )nn ny a x y a x y f x?? ? ? ? ? ? ?是非齊次方程的特解 , 則非齊次方程的通解為 齊次方程通解 非齊次方程特解 22 通解是 ( ). D例 1. 提示 : 都是對應(yīng)齊次方程的解 , 二者線性無關(guān) . (反證法可證 ) 1 2 3,y y y設(shè) 線 性 無 關(guān) 函 數(shù) 都 是 二 階 非 齊 次 線 性 方 程12( ) ( ) ( ) , , ,y P x y Q x y f x C C?? ?? ? ? 的 解 是 任 意 常 數(shù) 則 該 方 程 的1 1 2 2 3( ) 。A C y C y y?? 1 1 2 2 1 2 3( ) ( ) 。B C y C y C C y? ? ?1 1 2 2 1 2 3( ) ( 1 ) 。C C y C y C C y? ? ? ?1 1 2 2 1 2 3( ) ( 1 ) .D C y C y C C y? ? ? ?1 1 3 2 2 3 3( ) ( ) ( )C C y y C y y y? ? ? ?1 1 3 2 2 3 3( ) ( ) ( )D C y y C y y y? ? ? ?1 3 2 3,y y y y??23 例 2. 解 : 1( ) ( ) ( ) ,y P x y Q x y f x y x?? ?? ? ? ?已 知 微 分 方 程 有 三 個 解223 , , ( 0 ) 1 , ( 0 ) 3 .xxy e y e y y ?? ? ? ?求 此 方 程 滿 足 初 始 條 件 的 特 解2 1 3 1y y y y??與 是 對 應(yīng) 齊 次 方 程 的 解 ,且 21231xxyy exy y e x? ?????常數(shù) , 因而線性無關(guān) , 故原方程通解為 212( ) ( )xxy C e x C e x? ? ? ? ?,x代入初始條件 故所求特解為 ( 0 ) 1 , ( 0 ) 3 ,yy ???121 , 2 ,CC? ? ?得 e e??24 () ()ny f x?( , )y f x y?? ?? ( ) ( )P x y y P x? ?? ???令 則( , )y f y y?? ?? dd() yPP y y Pxy????令 則逐次積分求解 ???????小 結(jié) ( ) ( ) 0y P x y Q x y?? ?? ? ? 齊次線性方程 的標準形式 2211 yCyCy ??通解為 ： ( ) ( ) ( )y P x y Q x y f x?? ?? ? ?3 .二階 非齊次線性方程 的標準形式 *2211 yyCyCy ???通解為： 21 , yy其中 線性無關(guān) ， 即 常數(shù)， ?12yy即 ).(12 xuyy ?25 作業(yè)： P423,1(5),(7) 預(yù)習：從 427到 431頁
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