可降階的高階微分方程,高階線性微分方程及其通解結(jié)構(gòu)-預(yù)覽頁
【正文】 將 代 入 原 方 程 得 ：221ddpyy p p?? ，分離變量得 221d d ,1p pypy??兩端積分 ,得 2l n ( 1 ) l n l n ,p y C? ? ?21,p C y??即0 01 , 1 ,x xyy? ????因 1 1,yp ???則得 ?于是有 21 2 ,py?? 2 1 .py? ? ? ?由于 0 1,xy ?? ?所以取正的一支 .即 d2 1 .d y yx ??10 2 002 1 15 1 xxy y y y y???? ? ?? ? ? ?例 求 微 分 方 程 滿 足 初 始 條 件 ,.的 特 解由于 0 1,xy ?? ?所以取正的一支 .即 d 2 1 .dy yx ??分離變量并兩邊積分得 2 1 .y x C? ? ? ?0 1xy ? ?將 代 入 上 面 式 子 ，從而所求的特解為 2 1 1 .yx? ? ?注意： 在求特解的過程中， 出現(xiàn)任意常數(shù)后， 馬上用初值條件 代入， 可以使運(yùn)算簡化 . 數(shù)時(shí)，可根據(jù)已知條件定出其中一支 . 當(dāng)出現(xiàn)幾支函 確定任意常數(shù)， 11 高階線性微分方程及其通解結(jié)構(gòu) 第四節(jié) 二、 n階線性微分方程的通解結(jié)構(gòu) 一、二階線性微分方程的通解結(jié)構(gòu) 第十章 12 22dd ( ) ( ) ( )yyP x Q x y f xxx? ? ? ? ? ? ①( ) 0fx ?當(dāng) 時(shí) ，① 式叫二階線性齊次微分方程 ( ) 0fx ?當(dāng) 時(shí) ，① 式叫二階線性 非 齊次微分方程 n 階線性微分方程的一般形式為 時(shí) , 稱為非齊次方程 。C C y C y C C y? ? ? ?1 1 2 2 1 2 3( ) ( 1 ) .D C y C y C C y? ? ? ?1 1 3 2 2 3 3( ) ( ) ( )C C y y C y y y? ? ? ?1 1 3 2 2 3 3( ) ( ) ( )D C y y C y y y? ? ? ?1 3 2 3,y y y y??23 例 2. 解 : 1( ) ( ) ( ) ,y P x y Q x y f x y x?? ?? ? ? ?已 知 微 分 方 程 有 三 個(gè) 解223 , , ( 0 ) 1 , ( 0 ) 3 .xxy e y e y y ?? ? ? ?求 此 方 程 滿 足 初 始 條 件 的 特 解2 1 3 1y y y y??與 是 對(duì) 應(yīng) 齊 次 方 程 的 解 ,且 21231xxyy exy y e x? ?????常數(shù) , 因而線性無關(guān) , 故原方程通解為 212( ) ( )xxy C e x C e x? ? ? ? ?,x代入初始條件 故所求特解為 ( 0 ) 1 , ( 0 ) 3 ,yy ???121 , 2 ,CC? ? ?得 e e??24 () ()ny f x?( , )y f x y?? ?? ( ) ( )P x y y P x? ?? ???令 則( , )y f y y?? ?? dd() yPP y y Pxy????令 則逐次積分求解 ???????小 結(jié) ( ) ( ) 0y P x y Q x y?? ?? ? ? 齊次線性方程 的標(biāo)準(zhǔn)形式 2211 yCyCy ??通解為 ： ( ) ( ) ( )y P x y Q x y f x?? ?? ? ?3 .二階 非齊次線性方程 的標(biāo)準(zhǔn)形式 *2211 yyCyCy ???通解為： 21 , yy其中 線性無關(guān) ， 即 常數(shù)， ?12yy即 ).(12 xuyy ?25 作業(yè)： P423,1(5),(7) 預(yù)習(xí)：從 427到 431頁
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