《一階常微分方程》ppt課件-預(yù)覽頁(yè)
【正文】 數(shù)的個(gè)數(shù)與微分方程的階數(shù)相同 . ,yy ??例 。yyx y x? ?例 求 方 程 的 通 解y d y d uu y ux u xx d x d x? ? ? ?解 ： 令 ， 即 則 21d u uuxd x u?? ?2()1ux d u u d xu???11u d u d xux? ?1ln | | ln | |u u x c? ? ?積 分 1l n | |u u x c??1ln | |y ycx ??通 解 ： 22 0 ( 0 )y x y d x x d y x? ? ? ? ?例 求 方 程 () 的 解2: : 1 ( )d y y yd x x x? ? ?解 方 程 為, , ,yu y u x ux ??? ? ?令 則 代 入 并 化 簡(jiǎn) 得21u xu u u?? ? ? ?,分 離 變 量 并 積 分 得2ln( 1 ) ln ln ( 0 )u u C x C? ? ? ? ?,yu x?將 代 入 化 簡(jiǎn) 得2 2 2()y x y Cx? ? ? (2). 型方程 作變換 例 . 求方程 的通解 2)( yxdxdy ??解：令 則 得方程通解為 將 代回得原方程通解 (3) 形如 ? ?i i ia x b y cdy f a id x a x b y c1 1 12 2 2. 1 , 2?? ?????????? , b , c 為 常 數(shù) ,c 22??21當(dāng) c0 時(shí) :? ? abab11220? ? ?i a x b y ca x b y c1 1 12 2 200? ? ??? ? ? ??? ?xy00,有 唯 一 解u x x v y y00,? ? ? ?令a u b vdv f u vd u a u b v1122,?? ?? ?? ???則 這 是 關(guān) 于 的 齊 次 方 程 .? ?c x y2 0,??1當(dāng) c 時(shí) 為 的 齊 次 方 程 形 1.a b b1 1 20,? ? ?當(dāng) =0 時(shí) , 由 = 0 , = 0a x cyfa x c1122???????????ca b y fa x b y c1112 2 2.????? ?? ????當(dāng) =0 時(shí) , 方 程 為? ? abab11220? ? ?i i ? ? ? ?a b a b k a b1 1 2 2 1 10 , , ,? ? ?當(dāng) 時(shí) , 記 z a x b y11??令zcd z d ya b a b fd x d x k z c11 1 1 12?? ?? ? ? ??? ???則 a b a1 1 20,? ? ? ?當(dāng) 0 時(shí) , 由 = 0 , = 0b y cyfb y c1122???????????13dy x ydx x y .?????例 求 的 通 解解 ,021111 ???????????????,0301khkh方程組,2,1 ??? kh .2,1 ???? YyXx令,YX YXdXdY ???代入原方程得 ，令 XYu ? ,11 uudXduXu ????分離變量、積分得 X u u C22( 2 1 ) ,? ? ? ,222 CXXYY ???即代回，將 2,1 ???? yYxX得原方程的通解 ,)1()2)(1(2)2( 22 Cxyxy ???????方程變?yōu)? 一階線性微分方程 y P x y Q xxd ( ) ( ) ( 1 )d ??一階線性微分方程 的標(biāo)準(zhǔn)形式 : ,0)( ?xQ當(dāng) 上方程稱為 齊次的 . 上方程稱為 非齊次的 . ,0)( ?xQ當(dāng)例如 ,dd 2xyxy ?? ,s i ndd 2ttxtx ??,32 ??? xyyy ,1c o s ??? yy線性的 。 P x dx P x dxP x dx P x dxy u x e u x e P x dxu x e p x u x e( ) ( )( ) ( )39。 ( ) ( ) ( )????????? ? ????則P x dx P x dx P x dxu x e p x u x e p x u x e Q x( ) ( ) ( )39。 39。0yyxy???它顯然不是線性方程，將方程改寫作 30d x x yd y y??? 39。ccyxyx 為任常數(shù),3 2243 ???,),( x yxN ???例 驗(yàn)證方程 ,0)1()s i n( c o s 22 ???? dyxydxxyxx是恰當(dāng)方程 ,并求它滿足初始條件 y(0)=2的解 . 解 : ),1(),(,s i nc o s),( 22 xyyxNxyxxyxM ????這里??? y yxM ),(故所給方程是恰當(dāng)方程 . 把方程重新“ 分項(xiàng)組合 ”得 ,0)(s i nc o s 22 ???? y d yy d yxdxxyx d xx即 xd 2s in212221 yxd? 221 yd? ,0?xy2? ,),(xyxN???,0)( s i n 2222 ??? yyxxd或?qū)懗? 故通解為 : ,s i n 2222 cyyxx ???得由初始條件 ,2)0( ?y ,4?c故所求的初值問(wèn)題的解為 : .4s i n 2222 ??? yyxx02121s i n21 2222 ??? ydyxdxd 線積分法 ,),(),( x yxNy yxM ?????由于由曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的定理知 : ，yxudyyxNdxyxM 的全微分為某函數(shù) ),(),(),( ?使即有函數(shù) ),( yxu,),(),(),( dyyxNdxyxMyxdu ??。dyyxNdxyxM 一個(gè)積分因子是方程 0),(),( ??NxNyMx)()(???????這里dxxd )(??? ?( ) ( , )x N x yx???( ) ( , )( , ) ( )d x N x yN x y xd x x? ? ????()( , ) ( )x dxN x y e x???? ( , )() N x yxx? ???( , ) ( , )( ) ( )M x y N x y xyx???????( , )() N x yxx? ???( , )() M x yxy? ???( ) ( , )x M x yy????) ( , ) ( , ) 0x M x y d x N x y d y? ??故 ( 是 方 程 一 個(gè) 積 分 因 子 .例 求方程 ( ) ( ) 0x y y x y?? ? ? ? 的通解 . 解 積分因子 2211( ) ( )x x y y x y x y? ?? ? ? ? ?, 22ln ( ) a r c t a n ln | |yx y Cx? ? ?1積 分 得2a r c t a n22() yxx y C e? ? ?2 2 2 2 0x d x y d y x d y y d xx y x y??????對(duì)于齊次方程： 積分因子 1( , ) ( , )x P x y y Q x y? ? ?,
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