【正文】 題 : 求微分方程滿足初始條件的解的問題 . 例 驗證 : 函數(shù) ktCktCx s i nc os21 ??是微分 方程 0222?? xkdtxd的解 . 并求滿足初始條件0,00????ttdtdxAx 的特解 . 解 ,co ssi n 21 ktkCktkCdtdx ????,si nc o s 221222ktCkktCkdt xd ???,22的表達式代入原方程和將 xdt xd.0)s i nc o s()s i nc o s( 212212 ????? ktCktCkktCktCk.s i nc o s 21 是原方程的解故 ktCktCx ??,0,00 ????tt dtdxAx? .0,21 ??? CAC所求特解為 .c o s ktAx ?微分方程的初等解法 : 初等積分法 . 求解微分方程 求積分 (通解可用初等函數(shù)或積分表示出來 ) 可分離變量的微分方程 : ( ) ( )dy f x g ydx ?解 法 : : 1 ()() d y f x d x cgy ????d y xd x y??例 解 微 分 方 程, y dy xdx??分 離 變 量 得22111,22y x C? ? ?兩 邊 積 分 得22, x y c??即d y f xy dgg xy1( ) 0 ()() ?? 分 變 量1 離 :.求方程 xyxy 2dd ? 的通解 . 解 0y ? 時 ， 分離變量 , xxyy d2d ? , 積分 Cxy ?? 2||ln , 或?qū)憺?2ee xCy ??? , 記 CC e1 ?? , 則通解為 2e1 xCy ? . 可簡寫為： 分離變量 , xxyy d2d ? , 積分 Cxy lnln 2 ?? , 則通解為 2e xCy ? . 例 1 00Cy()??時 ， 解y d x x x d y2( 4 ) 0? ? ?例 求 的 通 解x x yd x d yd x d yx x y x x y2: 4 , 0 , 01 1 1 1, , ( )4 4 4? ? ?? ? ???解 時 分 離 變 量 得 ,即11, ( ln | | ln | 4 | ln ) ln | |4 x x C y? ? ? ?兩 邊 積 分 得4: ( 4 ) ,x y Cx C??通 解 即 為 其 中 為 任 意 常 數(shù) 求方程 0d)ee(d)ee( ???? ?? yx yyxxyx的通解 . 解 0y ? 時 ， 分離變量 : 1edee1de??? xxyy xy , 兩邊積分 : Cxy ln)1el n ()1el n ( ????? , 即所求通解為 Cyx ??? )1e)(1e( . 例 例 . 解初值問題 0d)1(d2 ??? yxxyx解 : 分離變量得 xxxyy d1d 2???兩邊積分得 Cxy ln11lnln 2 ???即 Cxy ?? 12由初始條件得 C = 1, 112 ??xy( 為任意常數(shù) ) 故所求特解為 1)0( ?y (1). 齊次方程 形如 令 ,xyu ?代入原方程得 )(dd uxuxu ???xxuuu d)(d ???兩邊積分 , 得 ?? ?? x xuu u d)( d?積分后再用 代替 u, 便得原方程的通解 . 解法 : 分離變量 : 例 解微分方程 .t a n xyxydxdy ??解 : ,xyu ?令 ,uxuy ????則 代入原方程得 uuuxu ta n????分離變量 xxuuu ddsi nc o s ?兩邊積分 ?? ? xxuuu ddsi nc o s得 ,lnlns i nln Cxu ?? xCu ?s in即故原方程的通解為 xCxy ?si n( 當(dāng) C = 0 時 , y = 0 也是方程的解 ) ( C 為任意常數(shù) ) 例 求方程 0)()( ????? yxyyx 的通解 . 解 原方程變形為 xyxyxy???dd 11???xyxy, 作變量代換 xyu ? , 代入原方程得 11dd ???? uuxuxu , 分離變量得 xxuuu dd11 2 ???? , ,xuy ? ,ddddxuxuxy ??是齊次方程 , 積分得 Cxuu ????? ||ln)1l n (21a r c ta n 2 , 或?qū)懗? uCux ar c t an12 e1 ??? , 再將 xyu ? 代入 , 得通解為 分離變量得 xxuuu dd11 2 ???? , xyCyx ar c t an122 e ??? 例 . 解微分方程 yxyxdxdy???解：將右端函數(shù)的分子，分母同時除以自變量 x 11ydy xydxx???此為齊次方程，令 y ux ?2121d u u uxd x u????分離變量，再兩邊積分 222112 uuCx? ? ?將 u帶回得 2 2 2( 2 ) 1C x x y y? ? ?2239。xCey ?通解,0???? yy 。例 1 一曲線通過點 ( 1 , 2 ) , 且在該曲線上任一點),( yxM 處的切線的斜率為 x2 , 求這曲線的方程 .解 )( xyy ?設(shè)所求曲線為xdxdy 2??? x d xy 22,1 ?? yx 時其中,2 Cxy ??即 ,1?C求得.12 ?? xy所求曲線方程為一、問題的提出 微分方程 : 凡含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的方程叫微分方程 . 例 ,xyy ??,0)( 2 ??? xdxdtxt,32 xeyyy ??????,yxxz ????實質(zhì) : 聯(lián)系自變量 ,未知函數(shù)以及未知函數(shù)的某些導(dǎo)數(shù) (或微分 )之間的關(guān)系式 . 分類 1: 常微分方程 , 偏微分方程 . 微分方程的階 : 微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)的最 高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù) . ,0),( ??yyxF一階微分方程 )。,( yxfy ??高階 (n)微分方程 ,0),( )( ?? nyyyxF ?).,( )1()( ??? nn yyyxfy ?分類 2: 分類 3: 單個微分方程與微分方程組 . ?????????,2,23zydxdzzydxdy微分方程的解 : 代入微分方程能使方程成為恒等式的函數(shù) . ,)( 階導(dǎo)數(shù)上有在區(qū)間設(shè) nIxy ??.0))(,),(),(,( )( ??? ?? xxxxF n?微分方程的解的分類： (1)通解 : 微分方程的解中含有任意常數(shù) ,且任意常數(shù)的個數(shù)與微分方程的階數(shù)相同 . ,yy ??例 。c oss i n 21 xCxCy ??通解(2)特解 : 確定了通解中任意常數(shù)以后的解 . 解的圖象 : 微分方程的積分曲線 . 通解的圖象 : 積分曲線族 . 初始條件 : 用來確定任意常數(shù)的條件 . 過定點的積分曲線 。yyx y x? ?例 　 求 方 程 　 的 通 解y d y d uu y ux u xx d x d x? ? ? ?解 ： 令 　 ， 即 　 則 　 　21d u uuxd x u?? ?2()1ux d u