常微分方程初值問題的數(shù)值解法-預(yù)覽頁
【正文】 xxyxfxyxy kkxxkk如用矩形數(shù)值積分公式可得： ? ?? ??????????1,1,0,10 nkyxhfyyyaykkkk?以上三種方法推導(dǎo)出同一個數(shù)值求解公式 : 這個數(shù)值公式稱為 歐拉 (Euler)公式。 定義 若某算法的局部截斷誤差為 O(hp+1)， 則稱該算法有 p 階精度 。 ? 隱式 歐拉法的局部截斷誤差： 11 )( ?? ?? kkk yxyR )(22 ?yh ????即隱式歐拉公式具有 1 階精度。但注意到該公式是 隱式 公式，計算時不得不用到迭代法 ，不易求解。 ( 1 ) ( )11iikkyy ?????? ?( 1)1iky ?? ? ?1kyx?23,kkyy??方 法 ? ? 顯式歐拉法 隱式歐拉法 梯形公式 中點公式 簡單 精度低 穩(wěn)定性最好 精度低 , 計算量大 精度提高 計算量大 精度提高 , 顯式 多一個初值 , 可能影響精度 不同方法比較 四、 改進歐拉法（預(yù)報 校正法） Step 1: 先用 顯式 歐拉公式作 預(yù)報 ，算出 ) , ( 1 i i i i y x f h y y ? ? ? Step 2: 再將 代入 隱式 梯形公式的右邊作 校正 ，得到 1 ? i y )] , ( ) , ( [ 2 1 1 1 ? ? ? ? ? ? i i i i i i y x f y x f h y y ? ?? ? )1,...,0(),(,),(2 11 ?????? ?? niyxfhyxfyxfhyy iiiiiiii它可表示為嵌套形式 表示為平均化形式 ? ?? ?? ????????????????pcipiiciiipyyyyxhfyyyxhfyy21,11此法稱為 預(yù)報 校正法， 是 顯式算法 。 龍格 庫塔法 一、 泰勒級數(shù)法 龍格 — 庫塔 (RungeKut ta)法 (簡稱為 RK方法 )是一類高精度的一步法，這類方法與泰勒級數(shù)法有著密 切的關(guān)系。1 !!2)( ?? ?????? kkkkkkkk hxykhxyhxhyxyxy ?? 從理論上講，只要解 y(x)有任意階導(dǎo)數(shù)，泰勒展開方法就可以構(gòu)造 任意階 求 yk+1公式。 這樣龍格－庫塔法保留了泰勒級數(shù)展開法的高階局部截斷誤差，又避免了高階導(dǎo)數(shù)的計算。所 以 如 果 在 區(qū) 間 上 多 預(yù) 估 幾 個 點 的 斜 率 值 ，再 將 它 們 的 線 性 組 合 作 為 平 均 斜 率 的 近 似 值 ，則 就 有 可 能 構(gòu) 造 出 精 度 更 高 的 計 算 格 式 。歐拉法及其各種變形所能達到的最高精度為 2階 。 21,121 ??? ??p注意到， 就是改進的歐拉法。 ) ... , ( ... ... ) , ( ) , ( ) , ( ] ... [ 1 1 2 2 1 1 2 32 1 31 3 3 1 21 2 2 1 2 2 1 1 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? m m m m m m i m i i i i i i m m i i hK hK hK y h x f K hK hK y h x f K hK y h x f K y x f K K K K h y y ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 最常用為四階 經(jīng)典龍格 庫塔法 四階經(jīng)典龍格 庫塔法公式 ),(),(),(),()22(34222312221432161hKyhxfKKyxfKKyxfKyxfKKKKKyyiihihihihiiihii????????????????四、 四階龍格 庫塔法 用四個 f函數(shù)值的線性組合得到四階 龍格 庫塔法 。 ?由于龍格 庫塔法的導(dǎo)出基于泰勒展開，故精度主要受解函數(shù)的光滑性影響。 例： 就初值問題 考察歐拉顯式格式的收斂性。 一般分析時為簡單起見，只考慮 試驗方程 /* test equation */ yy ???常數(shù)，可以是復(fù)數(shù) 當(dāng)步長取為 h 時，將某算法應(yīng)用于上式，并假設(shè)只在初值產(chǎn)生誤差 ，則若此誤差以后逐步衰減，就稱該算法相對于 絕對穩(wěn)定 ， 的全體構(gòu)成 絕對穩(wěn)
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