常微分方程初值問題的數(shù)值解法-文庫吧
2025-04-25 07:53 本頁面
【正文】 67。 歐拉方法 一、 歐拉格式： x0 x1 向前差商近似導(dǎo)數(shù) hxyxyxy )()()( 010???),()()()( 000001 yxfhyxyhxyxy ????? 1y記為 ?歐拉公式幾何意義 用一條通過初始點的折線近似表示解曲線 ,亦稱為 歐拉折線法 ， 或稱為 矩形法。 )1,.. .,0(),(1 ????? nkyxfhyy kkkk一般形式 顯式歐拉公式 在假設(shè) yk = y(xk)， 即第 k 步計算是精確的前提下 ， 考慮的截斷誤差 Rk = y(xk+1) ? yk+1 稱為 局部截斷誤差 。 定義 若某算法的局部截斷誤差為 O(hp+1)， 則稱該算法有 p 階精度 。 定義 ? 歐拉法的局部截斷誤差： )],([))]()()([)( 211 2 kk yxhfyyxyhxyyxyR khkkkki ?????????? ?? ?)(22 ?yh ???歐拉法具有 1 階精度。 ?局部截斷誤差和階數(shù) 1??? kk xx ?隱式歐拉格式 向后差商近似導(dǎo)數(shù) hxyxyxy )()()( 011??? x0 x1 )) ( , ( ) ( 1 1 0 1 x y x f h y x y ? ? ) 1 , ... , 0 ( ) , ( 1 1 1 ? ? ? ? ? ? ? n k y x f h y y k i i k 由于未知數(shù) yk+1 同時出現(xiàn)在等式的兩邊，不能直接得到，故稱為 隱式 歐拉公式，而前者稱為 顯式 歐拉公式。 一般先用顯式計算一個初值，再 迭代 求解。 ? 隱式 歐拉法的局部截斷誤差： 11 )( ?? ?? kkk yxyR )(22 ?yh ????即隱式歐拉公式具有 1 階精度。 二、兩步歐拉格式（中點公式） 中心差商近似導(dǎo)數(shù) hxyxyxy2)()()( 021???x0 x2 x1 ))(,(2)()( 1102 xyxfhxyxy ??1,. ..,1),(211 ???? ?? nkyxfhyy kkkk假設(shè) ,則可以導(dǎo)出 即兩步歐拉格式具有 2 階精度。 )(),( 11 kkkk xyyxyy ?? ?? 311( ) ( )k k kR y x y O h??? ? ?該方法需要 2個初值 y0和 y1來啟動遞推過程，這樣的算法稱為 雙步法 。 三、 梯形公式 — 顯、隱式兩種算法的 平均 )1,...,0()],(),([2 111 ????? ??? nkyxfyxfhyy kkkkkk注： 有局部截斷誤差 ， 即梯形公式具有 2 階精度，比歐拉方法有了進(jìn)步。但注意到該公式是 隱式 公式，計算時不得不用到迭代法 ，不易求解。 )()( 311 hOyxyR kkk ??? ?? 對歐拉法進(jìn)行改進(jìn)，用梯形公式計算右側(cè)積分，即 ? ? ? ? ? ?? ?11 ,2,1 ????? ? kkkkxx yxfyxfhdxyxfkk? ? ?2,1,0,),(),(2),()0(11)1(1)0(1????????????????ikyxfyxfhyyyxhfyykkkkkikkkkk計算公式 梯形格式算法計算步驟： ① 先用 (1)式計算出 處 。 1kx ? (0)1ky?② 再用 (2)式反復(fù)進(jìn)行迭代，得到 ( 1 ) ( 2 )11,kkyy??( 0 )1( 1 ) ( 0 )1 1 1( , )( , ) ( , )2k k k kik k k k k ky y h f x yhy y f x y f x y??? ? ?? ??????? ? ?? ???計算公式 (1) (2) 類似地得到 ③ 用 控制迭代次數(shù)， 為允許誤差。把滿足誤差要求的 作為 的近似值。 ( 1 ) ( )11iikkyy ?????? ?( 1)1iky ?? ? ?1kyx?23,kkyy??方 法 ? ? 顯式歐拉法 隱式歐拉法 梯形公式 中點公式 簡單 精度低 穩(wěn)定性最好 精度低 , 計算量大 精度提高 計算量大 精度提高 , 顯式 多一個初值 , 可能影響精度 不同方法比較
試題試卷相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號-1