常微分方程初值問題的數(shù)值解法(已修改)
2025-05-31 07:53 本頁面
【正文】 常微分方程初值問題的數(shù)值解法 第 6章 引言 在實(shí)際問題中，常需要求解微分方程 (如發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)子運(yùn)動方程 )。 只有簡單的和典型的微分方程可以求出解析解，而在實(shí)際問題中的微分方程往往無法求出解析解。 常微分方程： ????????0)(),(yaybxayxfy (1) ?????????????)(,)(),(0 ayyaybxayyxfy(2) 一階常微分方程 ???????????nybyyaybxayyxfy)(,)(),(0(3) (1),(2)式稱為 初值問題 ,(3)式稱為 邊值問題 ?????????2021212210012111)(),()(),(yxyyyxfyyxyyyxfy (4) 另外 ,在實(shí)際應(yīng)用中還經(jīng)常需要求解常微分方程組 : 本課程主要研究問題 一階常微分方程 (1)的數(shù)值解法 , 我們首先介紹初值問題 (1)的解存在的條件 定理 只要 f (x, y) 連續(xù)，且關(guān)于 y 滿足 Lipschitz 條件 ，即存在與 x, y 無關(guān)的常數(shù) L 使 對任意定義在 [a, b] 上的 y1(x) 和 y2(x) 都成立，則初值問題（ 1） 存在唯一解 。 |||),(),(| 2121 yyLyxfyxf ???bxxxxa n ?????? ?210),2,1()( nkyxy kk ??的近似值上函數(shù)值的數(shù)值解就是問題而 )1(),2,1( nky k ??上的一系列離散點(diǎn)在區(qū)間就是求未知函數(shù) ],[)( baxy（通常采用 等距節(jié)點(diǎn)） 對于問題 (1) ????????0)(),(yaybxayxfy 要求它的 數(shù)值解 常微分方程數(shù)值解公式的推導(dǎo) 求初值問題數(shù)值解的方法是 步進(jìn)法 ，即從已知的初值y0出發(fā)，通過 一定的計(jì)算 求 y1 ，然后由 y1或 y0和 y1求出 y2 ，依次計(jì)算到 yn ，即在計(jì)算出 yk后計(jì)算 yk+1 ，這時(shí)有 單步法 ：計(jì)算 yk+1時(shí)，只利用 yk 多步法 ：計(jì)算 yk+1時(shí)，用到 yk, yk1, yk2,… 常微分方程數(shù)值解公式的主要推導(dǎo)方法 泰勒展開 利用差商 利用數(shù)值積分法 泰勒展開的求解思路 ： 將 按泰勒級數(shù)展開 ? ? ? ?hxyxy kk ??? 1? ? ? ? ? ?kkkk yhxhyxyxy ?39。39。239。1 !2)( ????? ? ? ?? ? ? ? ? ?239。11() , ( )k k kk k k kh y x y x h y xy x y x h f x y x????? ? ?略 去? ?? ??????????1,1,0,10 nkyxhfyyyaykkkk?用 的近似值 代入上式右端，記所得結(jié)果為 ，則得到數(shù)值解序列的計(jì)算公式 ： ()kyx ky1ky ?化導(dǎo)數(shù)為差商的求解方法思路： 若在點(diǎn) 處的導(dǎo)數(shù)用差商來近似代替，如向前差商 ? ? ? ? ? ?h xyxyxy kkk ?? ? 139。kx則微分方程初值問題化為 ? ? ? ? ? ?? ????????????1,1,0039。1nkyayxyhxyxykkk?將近似號改為等號，精確解 改為近似解 ，得 ky? ?kxy? ?? ??????????1,1,0,10 nkyxhfyyyaykkkk?數(shù)值積分的求解思路 ： 如果將微分方程 在各小區(qū)間 上對其兩邊進(jìn)行積分，即 ? ?yxfy ,39。 ? ? ?1, ?kk xx? ?? ??? ?? ??? 11 1,1,0,39。 kkkkxxxx nkdxxyxfdxy ?? ? ? ? ? ? ?? ?? ????????? ? ??011 ,yaydxxyxfxyxy kkxxkk如用矩形數(shù)值積分公式可得： ? ?? ??????????1,1,0,10 nkyxhfyyyaykkkk?以上三種方法推導(dǎo)出同一個(gè)數(shù)值求解公式 : 這個(gè)數(shù)值公式稱為 歐拉 (Euler)公式。 ? ?? ??????????1,1,0,10 nkyxhfyyyaykkkk?1
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