可降階的高階微分方程,高階線性微分方程及其通解結(jié)構(gòu)-文庫吧
2025-04-22 17:48 本頁面
【正文】 x. 解法： ,dyypdx? ??令 d ,dpypy?? ?則()yy?? ? ???因 ddddpyyx??ddppy，代入原方程 ,得 d ( , )dpp f y py ?這是一階微分方程 . 24 y y?? ???求 微 分例 方 程 的 通 解解 ( ) ,y p y? ?設(shè) d,d pyp y?? ?則 ,yy? ??將 代 入 原 方 程 得 ： 2dd 0pyy p p?? ，0 0 ,yp??在 、 時 p約 去 并 分 離 變 量 再 積 分 得 ：ddpypy??? ，()d d pyd x d x? ??8 1l n l n l np y C??即 ， 1p C y?? ，1ddy Cyx ?即 ，:分 離 變 量 得1d dy Cxy ? ，:積 分1d dy Cxy ??? ，12: l n l ny C x C??即 ， 12:,Cxy C e?所 以12 .Cxy C e?則 原 方 程 的 通 解 為 ：24 y y?? ???求 微 分例 方 程 的 通 解解 ( ) ,y p y? ?設(shè) d,d pyp y?? ?則 ,yy? ??將 代 入 原 方 程 得 ： 2dd 0pyy pp ?? ，0 0 ,yp? ??在 、 時 p約 去 并 分 離 變 量 再 積 分 得 ：ddpypy??? ，9 2 002 1 15 1 xxy y y y y???? ? ?? ? ? ?例 求 微 分 方 程 滿 足 初 始 條 件 ,.的 特 解解 ( ) ,y p y? ?設(shè) d ,dpypy?? ?則,yy? ??將 代 入 原 方 程 得 ：221ddpyy p p?? ，分離變量得 221d d ,1p pypy??兩端積分 ,得 2l n ( 1 ) l n l n ,p y C? ? ?21,p C y??即0 01 , 1 ,x xyy? ????因 1 1,yp ???則得 ?于是有 21 2 ,py?? 2 1 .py? ? ? ?由于 0 1,xy ?? ?所以取正的一支 .即 d2 1 .d y yx ??10 2 002 1 15 1 xxy y y y y???? ? ?? ? ? ?例 求 微 分 方 程 滿 足 初 始 條 件 ,.的 特 解由于 0 1,xy ?? ?所以取正的一支 .即 d 2 1 .dy yx ??分離變量并兩邊積分得 2 1 .y x C? ? ? ?0 1xy ? ?將 代 入 上 面 式 子 ，從而所求的特解為 2 1 1 .yx? ? ?注意： 在求特解的過程中， 出現(xiàn)任意常數(shù)后， 馬上用初值條件 代入， 可以使運算簡化 . 數(shù)時，可根據(jù)已知條件定出其中一支 . 當(dāng)出現(xiàn)幾支函 確定任意常數(shù)， 11 高階線性微分方程及其通解結(jié)構(gòu) 第四節(jié) 二、 n階線性微分方程的通解結(jié)構(gòu) 一、二階線性微分方程的通解結(jié)構(gòu) 第十章 12 22dd ( ) ( ) ( )yyP x Q x y f xxx? ? ? ? ? ? ①( ) 0fx ?當(dāng) 時 ，① 式叫二階線性齊次微分方程 ( ) 0fx ?當(dāng) 時 ，① 式叫二階線性 非 齊次微分方程 n 階線性微分方程的一般形式為 時 , 稱為非齊次方程 。 ( ) 0fx ? 時 , 稱為齊次方程 . ( ) 0fx ?( ) ( 1 )11( ) ( ) ( ) ( )nn nny a x y a x y a x y f x? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?一、二階線性微分方程的通解結(jié)構(gòu) 二階線性微分方程的定義 13 回顧 : 一階線性方程 ( ) ( )y P x
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