【正文】 y P x y Q xdx ?? 的方程 ， 稱為一階線性微分方程 ， 其中 P(x)、 Q(x)是已知的連 續(xù)函數(shù) , Q(x)稱為自由項 ． 特點： 方程中的未知函數(shù) y及導(dǎo)數(shù) dydx都是一次的． 2． 分類 若 Q(x)= 0, 即 ? ? 0 ( 2 )dy P x ydx ?? 稱為一階線性齊次微分方程 ． 若 Q(x)≠ 0, 則方程 (1)稱為一階線性非齊次微分方程 ． y x y x? ??如 是 非 齊 次 方 程 ，2 01d y x yd x x??? 是 齊 次 方 程 ，s i nx y y x? ?? 是 非 齊 次 方 程 .3．一階線性齊次方程的解法 ? ? 0dy P x ydx ?? 類型： 可分離變量的微分方程 ． ? ?1 d y P x d xy ??分 離 變 量 得? ?l n l ny P x d x C? ? ??兩 邊 積 分 得? ? 3P x d xy C e ? ??即 （ ）其中 C 為任意常數(shù) . 4． 一階線性非齊次方程的解法 用常數(shù)變易法． ? ? ? ? 1dy P x y Q xdx ??設(shè) （ ） 在方程 （ 1） 所對應(yīng)的齊次方程的通解的基礎(chǔ)上進(jìn)行變易 , 假設(shè)方程（ 1）有如下形式的解： ? ? ? ?P x d xy C x e ???其中 C（ x）為待定函數(shù)． ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 P x d x P x d xC x e P x C x e Q x?? ?? ? ? ??? ??? ? ? ?? ? ? ?代 入 方 程 （ ） 得? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?P x d x P x d x P x d xC x C x e C x e P x P x C x e Q x? ? ???? ? ?? ? ? ? ????? ????? ? ? ? ? ?P x d xC x Q x e ?? ?即? ? ? ? ? ?P x d xC x Q x e C?? ? ??于是方程 (1)的通解為： ? ? ? ? ? ? 4P x d x P x d xy e Q x e d x C? ??????????? （ ）（ 4） 式稱為一階線性非齊次方程 （ 1） 的通解公式 ． 上述求解方法稱為常數(shù)變易法 ． 用常數(shù)變易法求一階線性非齊次方程的通解的一般步驟為： (1)先求出非齊次線性方程所對應(yīng)的齊次方程的通解； (2)根據(jù)所求出的齊次方程的通解設(shè)出非齊次線性方程的解將所求 出的齊次方程的通解中的任意常數(shù) C改為待定函數(shù) C(x)即可； (3)將所設(shè)解帶入非齊次線性方程，解出 C(x)，并寫出非齊次線性 方程的通解． ln1 y x xyx?? ?例 求 方 程 的 通 解 .1 lny y xx? ??解 原 方 程 可 變 形 為① ① 式對應(yīng)的齊次方程為 10yyx???② 將方程②分離變量得 dy dxyx?兩邊積分得 ln ln lny x C??即 ln lny C x?所以齊次方程②的通解為： y Cx? ③ 將上述通解中的任意常數(shù) C換成待定函數(shù) C(x)，將其待入方程①得 ? ? ? ? lnln xx C x x C x x????， 則 ，? ? ? ? ? ? 2l n 1l n l n l n2xC x d x x d x x Cx? ? ? ? ???將 C(x)代入式③ 得原方程的通解： ? ? 2ln2xy x C x??? ? 322 1 .1y y xx? ? ? ??例 求 方 程 的 通 解? ? ? ? ? ? 32 11P x Q x xx? ? ? ??解 ，? ?22 311 1dx dxxxy e x e dx C???????? ? ??????由 公 式 可 得? ? ? ? ? ?23 2111 1x x d x Cx??? ? ? ??? ????? ? ? ?221112x x C??? ? ? ????? ? ? ? ?421 112 x C x??? ? ? ?????例 3 在串聯(lián)電路中 ， 設(shè)有電阻 R， 電感 L和交流電動勢 E = E0sinωt， 在時刻 t = 0時接通電路 ， 求電流 i與時間 t的關(guān)系 （ E0,ω為常 數(shù) ） ． 解 設(shè)任一時刻 t的電流為 i． 我們知道，電流在電阻 R上產(chǎn)生一個電壓降 uR = Ri， LdiuLdt?由回路電壓定律知道 ， 閉合電路中電動勢等于電壓降之和 ， 即 在電感 L上產(chǎn)生的電壓降是 RLu u E??0 s i ndiR i L E w tdt??亦 即0 s i nEd i R i w td t L L??整 理 為① ? ? ? ? 0 s i nERP t Q t w tLL??，式①為一階非齊次線性方程的標(biāo)準(zhǔn)形式，其中 利用一階非齊次線性方程之求解公式得通解： ? ?? ?0002 2 2s ins ins in c o sRRd t tLLRRttLLRtLEi t e e w td t CLEe e w td t CLEC e R w t w L w tR w L? ???????????????????? ? ????02 2 20 0tw L EiCR w L? ?? ?由 初 始 條 件 得 ， ，? ? 02 2 2 si n c osR tLEi t w L e R w t w L w tR w L???? ? ???? ??于 是? ? ? ?1. ny f x? 型 可降階的高階微分方程 特點：方程 y(n) = f(x)的右端僅含有自變量 ． 解法：將兩端分別積分一次，得到一個 n1階微分方程 。再積分 一次，得到 n2階微分方程，連續(xù)積分 n次，便可得到該 方程的通解． 24. xy e x???? ??例 求 微 分 方 程 的 通 解解 將所給方程連續(xù)積分三次，得 ? ? 222 1 ,22xx xy e x d x e C???? ? ? ? ? ? ??23222112 2 4 6xxxxy e C dx e C x C????? ? ? ? ? ? ? ? ??????3222 4 21 2 3 1146118 24 2xxxy e Cx C dxCe x C x C x C C????? ? ? ???????? ? ? ? ? ? ??????? ?2. y f x y?? ?? ， 型特點：方程右端不含未知函數(shù) y 解法：令 y’ = t，則 y″= t’，于是原方程可化為以 t 為未知函 數(shù)的一階微分方程 t’= f(x ,t)． 25 0 .1yy x?? ????例 求 方 程 的 通 解解 令 y’= t，則 y″= t’， 代入原方程得 21ttx? ? ?分離變量得 121d t d xtx? ?兩邊積分得 ? ? 2l n l n 1 l nt x C? ? ? ? ?21t C x??即 ? ?21y C x? ??再積分得 ? ? 3 21 13y C x C? ? ?? ? 31 2 1 11 3y C x C C C