[工學(xué)]微分方程模型-文庫吧
2025-09-17 18:30 本頁面
【正文】 t Malthus 人口模型 模型構(gòu)成 構(gòu)成微分方程 在等式 x(t+?t)x(t)=rx(t)?t 中， 令 ?t→0, 得到 x(t)滿足微分方程 0()( ) , 0( 0 )d x tr x t rdtxx? ????? ??其中 x0 為 t=0 時(shí)的人口數(shù)。 Malthus 人口模型 求解模型 當(dāng) r0時(shí)，表示人口將按指數(shù)規(guī)律隨時(shí)間無限增長，稱為 指數(shù)增長模型 。 0()( ) , 0( 0 )d x tr x t rdtxx? ????? ??0( ) ( 1 )rtx t x e?參數(shù)估計(jì) : (1)式的參數(shù) r和 x0我們用表一數(shù)據(jù)估計(jì)。為了利用線性最小 二乘法，將 (1)式取對(duì)數(shù)，可得 以 1790年至 1900年的數(shù)據(jù)擬和 (2)式， 用 Mathematica軟件計(jì)算可得 以 1790年至 2021年的數(shù)據(jù)擬和 (2)式， 計(jì)算可得 0( ) ( 1 )rtx t x e?0, l n , l n ( 2 )y r t a y x a x? ? ? ? t 以 10年為單位。 模型檢驗(yàn) : 模型檢驗(yàn) : Malthus 人口模型 成功之處 與 19世紀(jì)以前歐洲一些地區(qū)人口統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)吻合 適用于 19世紀(jì)后遷往加拿大的歐洲移民后代 可用于短期人口增長預(yù)測 缺陷之處 不符合 19世紀(jì)后多數(shù)地區(qū)人口增長規(guī)律 不能預(yù)測較長期的人口增長過程 產(chǎn)生這些缺陷的主要原因 人口增長率 r 不是常數(shù) (逐漸下降 ) 改進(jìn) Logistic 模型（阻滯增長模型） Logistic人口模型 問題分析 人口增長到一定數(shù)量后，增長率下降的原因： 資源、環(huán)境等因素對(duì)人口增長的阻滯作用 且阻滯作用隨人口數(shù)量增加而變大 r 是 x(t) 的減函數(shù) Logistic 人口模型 1837年，荷蘭生物學(xué)家 Verhulst 引入常數(shù) xm，用來表示自 然資源和環(huán)境條件下所能容納許的最大人口數(shù)量。 Verhulst 將 Malthus 模型中的假設(shè)條件 “人口自然增長率為常數(shù)”修正為人口 自然增長率為 從而有如下模型（ Logistic 模型 ） ()( 1 ) , 0mxtrrx??0( ) ( )( ) ( 1 )
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