[工學(xué)]微分方程模型(已修改)
2025-10-23 18:30 本頁(yè)面
【正文】 引例： 破案問題 某公安局于晚上 7時(shí) 30分發(fā)現(xiàn)一具尸體，當(dāng)天晚上 8點(diǎn) 20分， 法醫(yī)測(cè)得尸體溫度為 ℃ ， 1小時(shí)后，尸體被抬走的時(shí)候又測(cè) 得尸體的溫度為 ℃ 。假定室溫在幾個(gè)小時(shí)內(nèi)均為 ℃ ，由 案情分析得知張某為此案的主要嫌疑犯，但張某矢口否認(rèn)，并有 證人說 ：“ 下午張某一直在辦公室，下午 5時(shí)打了一個(gè)電話后才離 開辦公室 ” 。從辦公室到兇案現(xiàn)場(chǎng)步行需要 5分鐘，問張某是否能 被排除在嫌疑犯之外？ 提示：按照 Newton冷卻定律，溫度為 T的物體在溫度為 T0(T0 T)的環(huán)境中冷卻 的速度和溫度差成正比，由此可以建立模型。 微分方程模型 內(nèi)容： 微分方程建模實(shí)例與練習(xí) 微分方程模型的解法 要求： 掌握微分方程建模方法 并能熟練地建立一階常微分方程模型 重點(diǎn)、難點(diǎn)： 微分方程的建模 例題 1： 冰雹的下落速度 當(dāng)冰雹由高空落下時(shí)，它受到地球引力和空氣阻力 的作用，阻力的大小與冰雹的形狀和速度有關(guān)，一般可 以對(duì)阻力作兩種假設(shè)： （ 1）阻力大小與下落的速度成正比； （ 2）阻力大小與速度的平方成正比； 請(qǐng)根據(jù)兩種不同的假設(shè)，建立速度滿足的微分方程，并計(jì)算冰雹下落的極 限速度 (已知初速度 v(0)=0、冰雹質(zhì)量 m、重力加速度 g、正比例系數(shù) k0). 例題 2： 人口模型 問題描述 人口的增長(zhǎng)是當(dāng)前世界上引起普遍關(guān)注的問題。早 在 18世紀(jì)人們就開始進(jìn)行人口預(yù)報(bào)工作。幾百年來(lái)建立 了許多有關(guān)人口問題的模型。較簡(jiǎn)單的模型有 Malthus 人口模型和 Logistic人口模型。下面分別介紹這兩個(gè)模 型。 Malthus 人口模型 第一次出現(xiàn)： 1789年，英國(guó)人口學(xué)家 Malthus(17661834) 根據(jù) 100年來(lái)人口統(tǒng)計(jì)資料提出。 基本假設(shè)： 人口增長(zhǎng)率 r是常數(shù)或單位時(shí)間內(nèi)人口增長(zhǎng)量與當(dāng)時(shí)的人 口數(shù)量成正比。 常用假設(shè)： 大規(guī)模種群的個(gè)體數(shù)量是時(shí)間的連續(xù)可微函數(shù)。 Malthus 人口模型 模型構(gòu)成 引入符號(hào) x(t)： t時(shí)刻人口數(shù)量； x(t+?t)： t+?t時(shí)刻人口數(shù)量； x0 : 初始時(shí)刻 (t=0)人口數(shù)； r : 人口增長(zhǎng)率（為常數(shù)）； 即單位時(shí)間內(nèi) x(t)的增量等于 r乘以 x(t)。 構(gòu)建平衡關(guān)系（等式） 考慮 t到 t+?t時(shí)間內(nèi)人口的增長(zhǎng)量，由 Malthus理論，有 x(t+?t)x(t)=rx(t)?
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