【正文】 第六章 微分方程及其應(yīng)用 常微分方程的基本概念與分離變量法 一階線性微分方程 二階常系數(shù)線性微分方程 常微分在經(jīng)濟(jì)中應(yīng)用 常微分方程的基本概念與分離變量法 微分方程的基本概念 1. 微分方程 含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的方程稱為微分方程 。 注：在微分方程中 ， 如果未知函數(shù)是一元函數(shù) ， 則方程稱為常 微分方程 ， 簡(jiǎn)稱微分方程 。 2. 微分方程的階 微分方程中所出現(xiàn)的未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)稱為微分方程的階 . 22( 1 ) dy xydx ?如 一 階? ?5( 2 ) c o s 4 0y y x? ? ? 五 階( 3 ) 4 1 3 0y y y?? ?? ? ? 二 階2( 4 ) 2 0x y y y x??? ? ? 一 階一般地， n 階微分方程的一般形式為： ? ?? ?,0 nF x y y y? ?， ， ，3. 微分方程的解 、 通解 （ 1） 若某函數(shù)代入微分方程后 ， 能使該方程兩端恒等 ， 則這個(gè)函 數(shù)為該微分方程的解 。 如 y = x2 + 2是方程 （ 1） 的解 , 顯然 y = x2 + C 也是方程 （ 1） 的解 . （ 2） 如果微分方程的解中所含獨(dú)立常數(shù)的個(gè)數(shù)等于微分方程的階 數(shù) ， 這樣的解稱為微分方程的通解 . 如 y = x2 + C 是方程（ 1）的通解 . 4． 微分方程的初始條件和特解 （ 1）確定通解中任意常數(shù)值的附加條件叫做初始條件； 一般地 一階微分方程的初始條件為： 二階微分方程的初始條件為： 0 0xxyy? ?0 0 0 0 1(xxy y x y y? ? ， ， 為 給 定 值 )0 1xxyy?? ?（ 2） 由初始條件確定了通解中任意常數(shù)后所得到的解 ， 稱為微 分方程的特解 。 如 y = x2 + 2是方程 （ 1） 的特解 . 2 11 2 1 0 ? ,2?y C x x y y?? ? ? ? ?例 函 數(shù) 是 方 程 的 解 嗎 若 是 解 是 通 解 還 是 特 解2 1 22y x y C x?? ? ?解 將 及 代 入 所 給 方 程 左 端 得2 2 2 212 2 1 2 2 1 1 02C x C x C x C x??? ? ? ? ? ? ? ?????2 1 .2y C x? ? ? 是 所 給 方 程 的 解2 12y C x??又 中含有一個(gè)任意常數(shù) C，而所給方程又是一階微分方程， 2 12y C x? ? ? 是所給方程的通解 . ? ?12002 1 011xxxy C x C e x y x y yyy???? ?? ? ? ? ? ??? ? ?例 驗(yàn) 證 是 微 分 方 程 的 通 解 ,并 求 出 滿 足 初 始 條 件 及 的 特 解 .1 2 1 2 2,:x x xy C x C e y C C e y C e? ??? ? ? ? ?解 將 及 代 入 所 給 方 程 左 端 得? ? ? ? ? ?2 1 2 1 210x x xx C e x C C e C x C e? ? ? ? ? ?? ?12 10xy C x C e x y x y y?? ?? ? ? ? ? ? ?是 微 分 方 程 的 解12 xy C x C e??又中含有兩個(gè)任意常數(shù)，而所給方程又是二階的， 12 xy C x C e? ? ? 是 所 給 方 程 的 通 解 .20 1 1 。xyC? ? ? ? ?將 代 入 通 解 中 得1 2 1 2 10 1 1 , 2 ,xxy y C C e C C C???? ? ? ? ? ?將 代 入 中 得 , 則2. xy x e??于 是 所 求 特 解 為 分離變量法 1．定義 形如 ? ? ? ? (1 )dy f x g ydx ?的方程稱為可分離變量的方程 . 特點(diǎn) 等式右端可以分解成兩個(gè)函數(shù)之積 ， 其中一個(gè)只是 x 的函數(shù) ， 另一個(gè)只是 y的函數(shù) ? ? ? ?ygxfdxdy ?2． 解法 設(shè) ? ? ? ? ? ?? ?1 0d y f x d x g ygy ??分 離 變 量 得當(dāng) g(y)≠0 時(shí)，兩端積分得通解 ? ? ? ?1 dy f x dxgy ???? ? ? ? ? ? ? ?1 1 2 2 x N y d x M x N y d y??(2) 方 程 也 是 變 量 可 分 離 的 方 程注 (1)當(dāng) g(y)=0時(shí)，設(shè)其根為 y =α ，則 y =α 也是原方程的解； ? ?? ?? ?? ? ? ? ? ?? ?2112120 , 0N y M xd y d x N y M xN y M x? ? ? ?事 實(shí) 上3 d y xd x y??例 求 微 分 方 程 的 通 解 .解 分離變量，得 ydy = xdx , 2211122y x C? ? ?兩 邊 積 分 得? ?22 y C C C? ? ?即 為 所 給 方 程 的 通 解? ?? ?21214 1 .1 xxydy ydx yx ??? ? ??例 求 方 程 滿 足 初 始 條 件 的 特 解2211yxd y d x????解 分 離 變 量 , 得? ? ? ?221 1 1, l n 1 l n 1 l n2 2 2y x C? ? ? ? ?兩 端 積 分 得? ? ? ?2211 x y C? ? ?即 原 方 程 的 通 解 為1 1 , 4 ,xyC? ??由 得? ? ? ?22, 1 1 4 .xy? ? ?因 此 滿 足 初 始 條 件 的 特 解 為 說明：在解微分方程時(shí) ， 如果得到一個(gè)含對(duì)數(shù)的等式 ， 為了 利用對(duì)數(shù)的性質(zhì)將結(jié)果進(jìn)一步化簡(jiǎn) ， 可將任意常數(shù)寫成 klnC的形 式 ， k的值可根據(jù)實(shí)際情況來確定 ， 如例 2中取 k=1/2. 例 5 設(shè)降落傘從跳傘臺(tái)下落 ， 所受空氣阻力與速度成正比 ， 降落傘 離開塔頂 (t = 0)時(shí)的速度為零 。 求降落傘下落速度與時(shí)間的函 數(shù)關(guān)系 . 解 設(shè) 降落傘下落速度為 v(t)時(shí)傘所受空氣阻力為 k （ 負(fù)號(hào)表示阻力與運(yùn)動(dòng)方向相反 （ k為常數(shù) ） 傘在下降過程中還受重力 P = mg作用， 由牛頓第二定律得 0 0tdvm m g k v vdt ?? ? ?且于是所給問題歸結(jié)為求解初值問題 0 0tdvm m g k vdtv ?? ????? ??d v d tm g k v m??分 離 變 量 得 , d v d tm g k v m????兩 邊 積 分 得11 ln tm g k v Ckm? ? ? ?11,k tkCmmgv C e C ekk? ???? ? ?????整 理 得00,m g m gC e Ckk? ? ?由 初 始 條 件 得 , 即1k tmmgvek????? ????故 所 求 特 解 為 由此可見，隨著 t的增大，速度趨于常數(shù) mg/k，但不會(huì)超過 mg/k，這說明跳傘后，開始階段是加速運(yùn)動(dòng)，以后逐漸趨于勻 速運(yùn)動(dòng) . 一階線性微分方程 一階線性微分方程 1．定義： 形如 ? ? ? ? ( 1 )d