[理學(xué)]常微分方程(2)(已修改)
2025-01-31 07:39 本頁面
【正文】 常微分方程的基本概念 可分離變量的微分方程 一階微分方程與可降階 的高階微分方程 二階常系數(shù)微分方程 常微分方程的應(yīng)用舉例 第 9章 常微分方程 結(jié)束 前頁 結(jié)束 后頁 含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（或微分）的方程稱為微分方程。 定義一 常微分方程的基本概念 常微分方程：未知函數(shù)是一元函數(shù)的微分方程 偏微分方程：未知函數(shù)是多元函數(shù)的微分方程 定義二 在微分方程中，所出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階 一階微分方程的一般形式是 二階微分方程的一般形式是 0),( ??yyxF0),( ???? yyyxF前頁 結(jié)束 后頁 是二階微分方程 dddd xbxxyaxy ???22注：在微分方程中，未知函數(shù)及自變 量可以不出現(xiàn) 是一階微分方程 ddbxayxy???????? 22例： 前頁 結(jié)束 后頁 定義 3 能使微分方程成為恒等式的函數(shù) )( xy ??叫做微分方程的解． 其圖形是一條平面曲線，稱之為微分方程的 積分曲線． 例如， xey 2?是方程 的一個解． 02 ??? yy我們在學(xué)習(xí)不定積分時就已經(jīng)知道，一個導(dǎo)數(shù)的原函數(shù)有無窮多個，因此一個微分方程也有無窮多個解． 前頁 結(jié)束 后頁 2yy ??等于該點的縱坐標的平方，求此曲線方程． 例 1 已知直角坐標系中的一條曲線通過點 (1,2)， ),( yxp且在該曲線上任一點 處的切線斜率 解 設(shè)所求曲線的方程為 y=y(x)， 根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義及本題給出的條件，得 2yxy ?dd 即Cyx ??? 1 積分得 又由于已知曲線過點 (1,2)，代入上式，得 23?C故所求曲線的方程為 yx123 ?? 前頁 結(jié)束 后頁 此解為該方程的通解（或一般解）． 定義 4 若微分方程的解中含有任意常數(shù)的個數(shù)與方程 的階數(shù)相同，且任意常數(shù)之間不能合并，則稱 ( , )y y x C?一階微分方程的通解是 二階微分方程的通解是 12( , , )y y x C C? n階微分方程的通解中，必須含有 n個任意常數(shù)． 其通解的圖形是平面上的一族曲線，稱為積分曲線族． 前頁 結(jié)束 后頁 定義 5 如果指定通解中的任意常數(shù)為某一固定常數(shù)， 那么所得到的解叫做微分方程的特解． xCey 2?如方程 20yy? ??的通解是 而 xey 2?就是一個特解，這里 1?C在具體問題中常數(shù) C的值總是根據(jù) “ 預(yù)先給定的條件 ” 而確定的． 如例 1中的曲線通過點（ 1 , 2）， 這個“預(yù)先給定的條件”叫初始條件． 稱為初始條件．當通解中的各任意常數(shù)都取 定義 6 用來確定通解中的任意常數(shù)的附加條件一般 得特定值時所得到的解，稱為方程的特解． 前頁 結(jié)束 后頁 通常情況下， 00 )( yxy ? 即 二階微分方程的初始條件是 00 yy xx ??及 0 0xxyy???? 即 00()y x y?與 00()y x y???一個微分方程與其初始條件構(gòu)成的問題稱為初值問題，求解其初值問題就是求方程的特解． 00 yy xx ??一階微分方程的初始條件是 前頁 結(jié)束 后頁 xx eey ??? 是不是方程 例 2 驗證函數(shù) .02 的解 ?????? yyy解 求 xx eey ??? 的導(dǎo)數(shù)，得 ,xx eey ???? xx eey ?????yyy ???及、將代入原方程的左邊，有 022 ?????? ??? xxxxxx eeeeee即函數(shù) xx eey ??? 不滿足原方程， 所以該函數(shù)不是所給二階微分方程的解． 前頁 結(jié)束 后頁 3Cxy ? 03 ??? yxy31)1( ?y解 由 3Cxy ? 得 .3 2Cxy ??代入原方程的左邊 yy ?和將033 23 ?? CxxCx3Cxy ?? 滿足原方程． 又因為該函數(shù)含有一個任意常數(shù)， 3Cxy ?? 是一階微分方程 03 ??? yxy的通解． 并求滿足初始條件 為 任意常數(shù)） , 例 3 驗證 是不是方程 的通解（ C 的特解． 將初始條件 31)1( ?y 代入通解，得 31?C故所求特解為 331 xy ?前頁 結(jié)束 后頁 可分離變量的微分方程 形如 f (x)dx + g(y)dy = 0 （ ） 定義： 的一階微分方程叫做 變量已分離的微分方程。 如果微分方程 M(x,y)dx+N(x,y)=0 () 中左端的函數(shù) M(x,y)、 N(x,y)都可以分解為兩個因子的積， 并且這兩個因子中一個只含有變量 x,另一個只含有變量 y， 即上述方程可以表為 )()( 12 xNyM0)()()()( 2121 ?? yyNxNxyMxM dd去除這個方程的兩邊，上式就可化為 以 前頁 結(jié)束 后頁 12( ) ( )d d 0( ) ( )M x N yxyN x M y??（ ） 將（ ）式兩邊積分后， 12( ) ( )dd( ) ( )M x N yx y CN x M y????（ C為任意常數(shù)） 可驗證，此結(jié)果即用隱式給出的方程（ ）的通解． 個原函數(shù)，而把積分所帶來的任意常數(shù)明確地寫上。 約定 : 在微分方程這一章中不定積分式表示被積函數(shù)的一 前頁 結(jié)束 后頁 的通解 dd 011 22???? xxyy?? ??? 22 11 xxyy dd例 1 求微分方程 解 移項、積分 a r c s in a
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