【正文】 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第五章 線性微分方程組 前面幾章研究了只含一個未知函數(shù)的一階或高階方程，但在許多實際的問題和一些理論問題中，往往要涉及到若干個未知函數(shù)以及它們導(dǎo)數(shù)的方程所組成的方程組，即微分方程組，本章將介紹一階微分方程組的一般解法，重點仍在線性方程組的基本理論和常系數(shù)線性方程的解法上 . 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 微分方程組的存在唯一性理論 線性微分方程組的一般理論 常系數(shù)線性微分方程組 常系數(shù)非齊次線性微分方程組 常系數(shù)線性齊次微分方程組 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 一、微分方程組的實例及有關(guān)概念 多回路的電路問題 是電源電壓， 是電感， 是電容器電容 , ()Et LC 是電阻， 是通過 的電流， 是通過 12,RR L 2i的電流，由基爾霍夫定律可建立以下方程組 . C L C2R1R)(tE??考慮多個回路的電路， 1i 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 11 1 21 2 1 2 2 20( ) ( )1( ) ( ) 0tdiL R i i E tdtR i i R i i s d sc?? ? ????? ? ? ? ??? ?L C2R1R)(tE?? 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 解得 上面方程組第二式兩邊對 t求導(dǎo)得 11 1 22 1 21 2 2( ) ( )1( ) 0diL R i i E tdtdi di diR R idt dt dt c?? ? ????? ? ? ? ??????????????????????).()()()(),(12112212112121221111tELRRRiLcRRLcRiLRRRdtditELiLRiLRdtdi () 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 Volterra 捕食 被捕食模型 設(shè)有捕食種群和食餌種群生活在同一小環(huán)境中 , 建立微分方程組來研究兩種群個體數(shù)量隨時間的 變化趨勢 . 設(shè) t 時刻食餌和捕食者的數(shù)量或密度分別為 ),(),( tytx假設(shè)個體不區(qū)分大小 , 而且沒有個體向環(huán)境輸入或 從環(huán)境輸出 , 當(dāng)環(huán)境中不存在捕食者時 , 食餌種群的 增長規(guī)律用下述 Logistic方程來描述 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 上式左端表示被捕食者的相對增長率 。 右端的常數(shù) 1r稱為 內(nèi)稟增長率 , 1k為 環(huán)境的容納量 , 由 () 可以看出 , .),(111 kraaxrxdtdx ???.),1(1 11111 dbrkxrdtdxx ????() 因此 當(dāng) 1kx?時 ,種群規(guī)模增長 , 1kx?時 , 種群規(guī)模減小 . 1k反映了環(huán)境能保證食餌個體數(shù)量變化時最 合適的容量 , 把 () 改寫形式 是其出生率 減去死亡率 1b ,1d() 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 其中項 ax? 反映了以下事實 : 即在容納量 ark 11 ?一定的條件下 , x 的增大 , 將使每一個體平均的 生活條件降低 , 從而影響種群的相對增長率 , 因此 ax? 或 2ax? 稱為 密度制約項 . 由于捕食者的存在 , 將使食餌的增長率減少 , 設(shè)單位 總量成正比 , 注意到 t 時刻有 y(t) 個捕食者 , 它們在 時間內(nèi)每個捕食者吃掉的食餌數(shù)量與該時刻食餌的 單位時間內(nèi)吃掉食餌的總數(shù)量應(yīng)為 0, ?bbx y為常數(shù) , 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ).( 1 byaxrxdtdx ???對于捕食種群 , 當(dāng)不存在食餌種群時 , 仍用 Logistic ).( 2 dyrydtdy ???于是 () 變?yōu)? 方程來描述增長規(guī)律 , 即 當(dāng)存在食餌種群時 , 被捕食者吃掉的食餌將轉(zhuǎn)化為 能量去生育后代 , 設(shè)轉(zhuǎn)化系數(shù)為 ,k 則捕食種群的 增長規(guī)律為 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ).( 2 dycxrydtdy ????其中 ,0,0,0 2 ???? kbcrd式中項 yr2?反映了 捕食者僅以食餌 x 為生 . 這樣我們得到一個 Volterra 捕食 食餌系統(tǒng) ??????????????)()(21dycxrydtdybyaxrxdtdx() 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 質(zhì)點的空間運動 已知在空間運動的質(zhì)點 ),( zyxp的速度與時間 t 及點的坐標 ),( zyx的關(guān)系為 ????????),(),(),(321zyxtfvzyxtfvzyxtfvzyx且質(zhì)點在時刻 ),(000 zyx0t經(jīng)過點 求該質(zhì)點的 運動軌跡 . 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 這個問題其實就是求微分方程組 ????????????),(),(),(321zyxtfdtdzzyxtfdtdyzyxtfdtdx滿足初始條件 000000 )(,)(,)( ztzytyxtx ???的解 ).(),(),( tztytx 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 事實上 , 在第 4 章中的高階微分方程 ).,( )1()( ??? nn yyyxfy ?, 1)1(21 ?? ?????? nn yyyyyy ?令 則上式可以化為方程組 ????????????????).,(,11211nnyyxfdxdyydxdyydxdy???? 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 上面方程組中的未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)都是一階的 ,因此 , 它們都是 一階微分方程組 . 若出現(xiàn)的方程組中未知 函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是二階或二階以上 , 統(tǒng)稱為 高階微分 方程組 . 注 : 所有的高階微分方程組都可以通過變量代換 化為一階微分方程組 , 所以今后我們只研究 一階微分方程組 . 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 11 1 212( , , , ) ,( , , , ) ,nnnndxf t x x xdtdxf t x x xdt??????? ??的一般形式為 含有 n 個未知函數(shù) 1 , nxx的 一階微分方程組 () 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 對所有未知函數(shù)都是 一次的，稱此方程組為 線性微分方程組 . 線性微分方程組及非線性微分方程組 : 如果微分方程組 ()中的每一個 ),(21 ni xxxtf ?例如 : 方程組 () 是線性微分方程組 , 方程組 () 是非線性微分方程組 . 否則 , 稱為 非線性微分方程組 . 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 微分方程組的解 設(shè) 在 上可微，并有恒等式 1 ( ) , , ( )nx t x t ( , )ab1() ( , ( ) , , ( ) , ( 1. 2 )iindx t f t x t x t i ndt ??則稱 為微分方程組 ()在區(qū)間 1 ( ) , , ( )nx t x t( , )ab的一個 解 . 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 通解及通積分 含有 n個任意常數(shù) 的解 1 , ncc1 1 11( , , )( , , )nn n nx t c cx t c c??????? ??為方程組的通解 . 這里 相互獨立 . nccc , 21 ? 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 如果通解滿足方程組 ??????????.0),。,(,0),。,(,0),。,(21212121221211nnnnnnncccxxxtcccxxxtcccxxxt????????????() 則稱 () 為方程組 () 的 通積分 . 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 方程組 () 的 初始條件 為 .)(,)(,)( 002020221 nnn xtxxtxxtx ??? ?如果已知 () 的通解或通積分 , 而要求滿足 初始條件 () 的解 , 將 () 代入通解或通積分 , 得到關(guān)于 1 , ncc的 n 個方程 , 如能從中解得 1 , ncc再代回通解或通積分之中 , 就得到所求的解 . 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二、 函數(shù)向量與函數(shù)矩陣 （ 1）函數(shù)向量和函數(shù)矩陣 或者 1( ) ( ( ) , ( ) )T nx t x t x t?為 上的函數(shù) . ()ixt I,)()()()(21???????????????txtxtxtxn?n維函數(shù)向量 其中 )(tx 定義為 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 是定義在 I上的函數(shù)。 階函數(shù)矩陣 nn?)(, ta ji)(tA 定義為 其中 注： 關(guān)于向量或矩陣的代數(shù)運算 , 如相加、相乘 成立。 與純量相乘等性質(zhì)對于以函數(shù)作為元素的矩陣同樣 ,)()()()()()()()()()(2121222111211???????????????tatatatatatatatatatAnnnnn??????? 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 關(guān)于函數(shù)向量與函數(shù)矩陣的連續(xù)、微分、積分的 定義如下： 如果函數(shù)向量 或函數(shù)矩陣 )(tx )(tA是區(qū)間 I 上的連續(xù)函數(shù)，則稱 的每個元素分別