常微分方程--第六章64節(jié)(已修改)
2025-02-01 04:56 本頁面
【正文】 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 167。 幾個(gè)線性系統(tǒng)的計(jì)算機(jī)相圖 平面線性系統(tǒng)的初始奇點(diǎn) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 本節(jié)我們?nèi)钥紤]被稱為 平面系統(tǒng)的 二維自治系統(tǒng) ( , )( , )dxf x ydtdyg x ydt?????? ???() 其中 ， 在上 連續(xù)且滿足解的 ( , )f x y ( , )g x y 2R存在唯一性條件。 為了研究系統(tǒng)（ ）的軌線的定性性態(tài)， 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 必須弄清其奇點(diǎn)及其鄰域內(nèi)的軌線分布。比如 上節(jié)我們已知系統(tǒng)的任何出發(fā)于常點(diǎn)的軌線， 不可能在任一有限時(shí)刻到達(dá)奇點(diǎn)。反過來如果系 統(tǒng)的某一解 ， 滿足： ()x x t? ()y y t?00l im ( ) , l im ( ) ,ttx t x y t y? ? ? ???則點(diǎn) 一定是系統(tǒng)的奇點(diǎn) 。 00( , )xy 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 一般來說，奇點(diǎn)及其附近軌線的性態(tài)是比較 復(fù)雜的。又因?yàn)閷τ谙到y(tǒng)的任何奇點(diǎn) 均 0 0 0( , )P x y可用變換 00x x xy y y? ???? ????() 把（ ）變?yōu)椋? x 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 0000( , ) ( , )( , ) ( , )dxf x x y y P x ydtdyg x x y y Q x ydt??? ? ? ?? ? ? ?????? ? ? ? ?? ? ? ???() 且 ()的奇點(diǎn) 即對應(yīng)于 ()的 (0, 0)O移變換，所以不改變奇點(diǎn)及鄰域軌線的性態(tài)。 奇點(diǎn) 。又因?yàn)樽儞Q ()只是一個(gè)平 0 0 0( , )P x y因此，我們可假設(shè) 是 ()的奇點(diǎn)，且 (0, 0)O 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 性態(tài)即可。所以設(shè) ()中的右端函數(shù)滿足： ( 0 , 0) ( 0 , 0) 0fg ?? () 如果 均是 的線形函 ( , ), ( , )f x y g x y,xy數(shù)。我們稱之為 線性系統(tǒng) ，即 只須討論 ()的奇點(diǎn) 及其鄰域的軌線 (0, 0)Odxax bydtdyc x dydt??????? ????() 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 幾個(gè)線性系統(tǒng)的計(jì)算機(jī)相圖 一個(gè)自治系統(tǒng)在奇點(diǎn)鄰域的相圖對奇點(diǎn)鄰 域軌線的性態(tài)有很大的幫助。 Maple可以方便地 畫出其圖形，給我們一個(gè)直觀的形象。 Maple畫軌線圖時(shí)候先要調(diào)入微分方程的軟 件包，接著定義方程，給出變量及其范圍，指定 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 初值，再給出步長、顏色等?？磶讉€(gè)具體的例子。 例 用 Maple描出系統(tǒng) 2dxxdtdyydt??????? ????() 在奇點(diǎn)附近軌線的相圖。 解 用 Maple解得 相 圖 。 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 平面線性系統(tǒng)的初等奇點(diǎn) 考慮到一般的平面線性系統(tǒng) dxax bydtdyc x dydt??????? ????（ ） 其中系數(shù)矩陣 為 常數(shù)矩陣 。 abAcd??????? 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 如果 ，則 是系統(tǒng) det 0A ad bc? ? ? (0, 0)O這時(shí)的奇點(diǎn)稱為 系統(tǒng)的高階奇點(diǎn) 。 下邊討論系統(tǒng)（ ）的初等奇點(diǎn)。 根據(jù)線性代數(shù)的理論，必定存在非奇異 實(shí)矩陣 ，使得 成為 的若當(dāng) T 1T AT? A的惟一的奇點(diǎn)，這個(gè)奇點(diǎn)稱為孤立奇點(diǎn) . 而 0det ?A則稱 非為孤立奇點(diǎn) ,而非孤立奇點(diǎn)充滿一條直線， )0,0(O 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 （ Jordan）標(biāo)準(zhǔn)型，且若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型的形式由 的特征根的不同情況而具有以下幾種形式： A00????????01???????????????????因而對系統(tǒng)（ ）
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