常微分方程--第三章一階微分方程的解的存在定理(31-32)(已修改)
2025-02-01 04:55 本頁面
【正文】 第三章 一階微分方程的解的存在定理 需解決的問題 ?,)(),(1000 的解是否存在初值問題???????yxyyxfdxdy?,)(),(2000 是否唯一的解是存在若初值問題???????yxyyxfdxdy167。 解的存在唯一性定理與逐步逼近法 一 存在唯一性定理 1 定理 1 考慮初值問題 00( , ) ( )()dyf x ydxy x y????? ??:),( Ryxf 在矩形區(qū)域其中 )(, 00 byyaxx ????,上連續(xù) :條件滿足并且對 L ip s c h it zy常成立使對所有即存在 RyxyxL ?? ),(),(,0 212121 ),(),( yyLyxfyxf ???,)( 0 上的解存在且唯一在區(qū)間則初值問題 hxx ??),(),m i n (),(yxfM axMMbahRyx ???這里(1) 初值問題 ()的解等價于積分方程 )(),(00 dtytfyyxx???的連續(xù)解 . 證明思路 (2) 構造 ()近似解函數(shù)列 )}({ xn?01 0 0( ) ( , ( ) )xxx y f d? ? ? ? ??? ?得右側的代入任取一連續(xù)函數(shù),)(,)(),( 000ybyxx ????得右側的代入否則將為解則若,)()(,)(),()( 1001yxxxx ???? ?02 0 1( ) ( , ( ) )xxx y f d? ? ? ? ??? ???,)()(,)(),()( 2112yxxxx右側的代入否則將為解則若 ???? ?010( ) ( , ( ) ) ,xnn xx y f d? ? ? ? ?? ?? ?,)( 0 byxn ???這里要求,)(),()(1 為解則若 xxx nnn ??? ??)}({ xn?列否則一直下去可得函數(shù)(逐步求 ()的解 ,逐步逼近法 ) ).(],[)}({)3( 00 xhxhxxn ?? 上一致收斂于在函數(shù)序列 ??這是為了 010l im ( ) l im ( , ( ) )xnn xnn x y f d? ? ? ? ??? ? ? ??? ?00 l im ( , ( ) )xnx ny f d? ? ? ????? ?即 00( ) ( , ( ) ) ,xxx y f d? ? ? ? ??? ?)).(,(],[))}(,({ 00xxfhxhxxxf n??致收斂于上一在只需函數(shù)列 ??)()())(,())(,( xxLxxfxxf nn ???? ???由).(],[)}({ 00 xhxhxxn ?? 上一致收斂于在只需 ??),())()(()(110 xxxx nnkkk ???? ??? ???由于等價于函數(shù)項級數(shù)斂性上一致收在于是函數(shù)列,],[)}({ 00 hxhxxn ???,))()(()(110 ??????nnn xxx ???.],[ 00 上一致收斂性在 hxhx ??.],[)()()4( 00且唯一上連續(xù)解定義于是積分方程 hxhxx ???下面分五個命題來證明定理 ,為此先給出 積分方程的解 如果一個數(shù)學關系式中含有定積分符號且在定積分符號下含有未知函數(shù) , 則稱這樣的關系式為積分方程 . 積分方程 .,)(: 0 程就是一個簡單的積分方如 ??? xx dttyey.)(,))(,()(),(],[,),(0000為該積分方程的解則稱上恒成立在區(qū)間使得上的連續(xù)函數(shù)如果存在定義在區(qū)間對于積分方程xyIdtttfyxxyIdtytfyyxxxx???????????????命題 1 初值問題 ()等價于積分方程 )(),(00 dtytfyyxx???證明 : 則的連續(xù)解為若 ,)()( xy ??,)())(,()(00???????yxxxfdxxd???取定積分得到對第一式從 xx 0dxxxfxx xx???0))(,()()( 0 ???即 dxxxfyx xx???0))(,()( 0 ??.)()( 的連續(xù)解為故 xy ??)(,)(),(00???????yxyyxfdxdy則有的連續(xù)解為若 ,)()( xy ??反之 dtttfyx xx???0))(,()( 0 ??,),( 上連續(xù)在由于 Ryxf ,))(,( 連續(xù)從而 ttf ?故對上式兩邊求導 ,得 ))(,()( xxfdx xd ?? ?且 00000))(,()( ydxxxfyx xx??? ? ??.)()( 的連續(xù)解為即 xy ??構造 Picard逐步逼近函數(shù)列 )}({ xn?00 )( yx ??00 1 0 0( ) ( , ( ) )xnn xx y f d x x x h? ? ? ? ??? ? ? ? ??),2,1( ??n)(???問題 : 這樣構造的函數(shù)列是否行得通 , 即上述的積分 是否有意義 ? .)(,)(000的常數(shù)值往往取方便但實際上為可任取一般來說連續(xù)函數(shù)yxx???注 00 )( yx ?00 1 0 0( ) ( , ( ) )xxx y f d x x x h? ? ??? ? ? ? ???)
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