常微分方程--第三章一階微分方程的解的存在定理(31-32)-文庫吧資料
2025-01-26 04:55本頁面
【正文】 里,),(,區(qū)間也應越大解的存在唯一越大的定義域如果根據(jù)經(jīng)驗 Ryxf.,),(,的這顯然是我們不想看到縮小解的存在唯一區(qū)間反而的定義域的增大即隨著可能出現(xiàn)這種情況但根據(jù)定理的結(jié)論yxf,0)0(22????????yyxdxdy例如 初值問題 ,11,11: 時當取定義域為 ?????? yxR.21}21,1m i n { ??? hx解的存在唯一區(qū)間,22,22: 時當取定義域為 ?????? yxR.41}82,2m i n { ??? hx解的存在唯一區(qū)間1 飽和解及飽和區(qū)間 定義 1 上的微分方程對定義在平面區(qū)域 G)(),( yxfdxdy ?,),()()( 11 的連續(xù)解定義在區(qū)間為方程設 ??? xy ?且滿足有定義上它在區(qū)間的另一解若存在方程,),(),()( 22 ??? xy ?),(),(),(),()1( 11221122 ???????? ?? 但)。000 yxyyxy ??三 近似計算和誤差估計 求方程近似解的方法 Picard逐步逼近法 ,這里 00 )( yx ??00 1 0 0( ) ( , ( ) )xnn xx y f d x x x h? ? ? ? ??? ? ? ? ??),2,1( ??n???內(nèi)誤差估計為在和真正解次近似解對方程的第],[)()(00 hxhxxyxn n??? ??)(,)!1()()( 1???? nnn hnMLxx ??注 :上式可用數(shù)學歸納法證明 )()(0 xx ?? ? ???? dfxx??0))(,( 0xxM ?? Mh?,!)(!)()(1011nnnnn hnMLxxnMLxx ??? ???? ??設則 ?? )()( xxn ?? ??????? dffxx n???0))(,())(,( 1????? dL xx n??? ?0)()(1 ?? dxnML xxnn? ??0)(! 010 )()!1(???? nnxxnML.)!1(1??? nnhnML)(,xn?數(shù)選取適當?shù)闹鸩奖平梢愿鶕?jù)誤差要求在進行近似計算時這樣例 1 討論初值問題 0)0(,22 ??? yyxdxdy解的存在唯一區(qū)間 ,并求在此區(qū)間上與真正解的誤差不超 .11,11:, ?????? yxR其中的近似解的表達式過解 ,2),(),( ?? ? yxfM a xM Ryx這里21}21,1m in { ??h所以由于 yyf 2??? L?? 2由 () 1)!1()()( ???? nnn hnMLxx ??1)()!1(1 ??? nLhnLM)!1(1??n?)!1(1 ??n作出如下的近似表達式因此我們可以因而可取 ,3?n,0)(0 ?x? ? ?? x dxxxx02021 )]([)( ?? 33x?? ?? x dxxxx 0 2122 )]([)( ?? ? ?? x dxxx062 ]9[63373 xx??? ?? x dxxxx 0 2223 )]([)( ?? ? ???? x dxxxxx0141062 ]3 9 6 91 8 929[5953520792633151173 xxxx????.]21,21[,)(3解誤差不會超過上與真正在區(qū)間就是所求的近似解 ?x?例 2 求初值問題 0)0(,1 2 ??? yydxdy解的存在唯一區(qū)間 . 解 , ba對任意 均在矩形區(qū)域函數(shù) ),( yxf},|),{( byaxyxR ???計算有連續(xù)的偏導數(shù)且對內(nèi)連續(xù) , y),(),( yxfM a xM Ryx ??。)( 39。39。0 連續(xù)且存在連續(xù)偏導數(shù)對所有變元 yyxyyxF,0),(2 39。000 yyx,),(),(1 39。)(),)((00中有定義在解所示如圖時當axxaxxyaabM???????.)(,。0 xLgxuxuxgxu ????( ) ( ) ,u x L u x? ? ( ( ) ( ) ) 0 ,Lxu x L u x e ?? ??,0)()( 00 ?? ?? LxLx exuexu積分得到對最后一個不等式從 xx 0,0))()(( 39。第三章 一階微分方程的解的存在定理 需解決的問題 ?,)(),(1000 的解是否存在初值問題???????yxyyxfdxdy?,)(),(2000 是否唯一的解是存在若初值問題???????yxyyxfdxdy167。 解的存在唯一性定理與逐步逼近法 一 存在唯一性定理 1 定理 1 考慮初值問題 00( , ) ( )()dyf x ydxy x y????? ??:),( Ryxf 在矩形區(qū)域其中 )(, 00 byyaxx ????,上連續(xù) :條件滿足并且對 L ip s c h it zy常成立使對所有即存在 RyxyxL ?? ),(),(,0 212121 ),(),( yyLyxfyxf ???,)( 0 上的解存在且唯一在區(qū)間則初值問題 hxx ??),(),m i n (),(yxfM axMMbahRyx ???這里
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