常微分方程--第二章一階微分方程的初等解法(21-23)-文庫吧資料
2024-12-14 09:04本頁面
【正文】 sysMyxF xx ??? ?待定，對(duì)上式關(guān)于 y 求偏導(dǎo)得 )(y?( , ) ( , )M x y N x yyx?? ??? 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 令 00( ) ( , )yyy N x s d s? ? ?所有與 ( , )F x y 相差一個(gè)常數(shù)的函數(shù)都滿足 定理 。 dyy yxFdxx yxFyxdF ?????? ),(),(),(dyyxNdxyxM ),(),( ??故有 yyxFyxNxyxFyxM?????? ),(),(,),(),(計(jì)算 ),( yxF 的二階混合偏導(dǎo)數(shù) : ?2 ( , )F x yyx??? ,),(yyxM???xyxN??? ),(yxyxF??? ),(2由于 和 都連續(xù)， 2 ( , )F x yyx??? yxyxF??? ),(2從而有 yxyxF???? ),(22 ( , )F x yyx??? 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 039。 (2)若方程 ()是全微分方程 ,怎樣求它 的解 。 恰當(dāng)微分方程與積分因子 設(shè) ),( yxFu ? 是一個(gè)連續(xù)可微的二元函數(shù) ,則 dyy yxFdxx yxFyxdFdu ??????? ),(),(),(若 0),(),( ?????? dyyyxFdxxyxF則有 CyxF ?),(這是一大類可求解的微分方程 . 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 則稱 為恰當(dāng)微分方程，也稱全微分方程。 四、 線性微分方程的 應(yīng)用 舉例 例 1： RL串聯(lián)電路由電阻、電感、 關(guān)閉合后電路中的電流強(qiáng)度 電源組成的串聯(lián)電路，求開 ).(ti解： 當(dāng)電路中電流為 時(shí)，在 R上的電壓降為 )(ti )(tRi我們得到電流 所滿足的微分方程為： )(ti 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 () ()di tL R i t Edt ??取開關(guān)閉合時(shí)刻為 0，則 (0) 0i ?又 ()p Eit R?( ) e xpc Ri t C tL???? ????將初始條件 代入得 : (0) 0i ?ECR??故當(dāng)開關(guān)閉合后，電路中的電流強(qiáng)度為： 求得齊次方程通解為 是方程特解， REtLRCti ??? )ex p ()(因此 ,得到通解 : )]e x p (1[)( tLRREti ??? 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例 2 湖泊的污染 設(shè)一個(gè)化工廠每立方米的廢水中含有 ， 這些廢水流入一個(gè)湖泊中，廢水流入的速率 20 立方米每小時(shí) . 開始湖中有水 400000立方米 . 河水中流 入不含鹽酸的水是 1000立方米每小時(shí) , 湖泊中混合均勻 的水的流出的速率是 1000立方米每小時(shí) , 求該廠排污 1年時(shí) , 湖泊水中鹽酸的含量 . 解 : 設(shè) t時(shí)刻湖泊中所含鹽酸的數(shù)量為 ),(tx考慮 ],[ ttt ?? 內(nèi)湖泊中鹽酸的變化 . 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ttxtttxttx204 0 0 0 0 0 0)()()(???????????因此有 .0)0(, 00 0010 0 ???? xtxdtdx該方程有積分因子 ? ???? 50) 0 0()240 0 00 0100e x p ()( tdttt?兩邊同乘以 )(t? 后 ,整理得 5050 )(])([ ttxdtd ??? 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 積分得 Ctxt ???? 5150 )(513080)(利用初始條件得 51)40 00(5130 80 ???C故 ].) 4000([513080)( 50tttx ????).kg(2 2 3 8 2 4)8 7 6 0( ?x 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ( 雅各布第一 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 三、 Bernoulli方程 伯努利方程的標(biāo)準(zhǔn)形式 : )()(dd 1 xQyxPxyy nn ?? ??令 ,1 nyz ?? xyynxz n dd)1(dd ???則)()1()()1(dd xQnzxPnxz ????求出此方程通解后 , 除方程兩邊 , 得 換回原變量即得伯努利方程的通解 . 解法 : (線性方程 ) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例 2( 1 ) 122d y y x yd x x y? ? ?，的解。 例 ： 設(shè)函數(shù) ()ft在 上連續(xù)且有界 ,試 [0, )??證： 設(shè) ()x x t? 為方程的任一解，它滿足某初始條件 0( ) ( 0 )x t x? 0 [0 , )t ? ??于是 我們只證 0( ) [ , ]x t t ??在上有界。 解： 齊次方程 0dy aydx ??的通解為 axy ce ??()0()xa x a x sy c e e f s d s? ? ??? ?方程 ()dy ay f xdx??的通解為 例： 為了使 以 為周期，須滿足 2?y是以 2?()fx 為周期的周期函數(shù)， 是正常 a設(shè) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 整理得 ? ?? ???????? ??? ? ?? 20 0 )()2()2( .)()(x x sxaaxsxaxa dssfecedssfece()fx 為周期 2?以 （令 ） 2st???02 21 ()1asac e f s dse ? ?? ??? ? ?將 c 代入得 ????? ? ??? x asx saa dssfedssfeec 020 )2(2 )()()1( ? ????? ?? ?? ?? x asx asx sa dssfedssfedssfe 0220 )2( )()()( ?? ?????? ?? x xsaxsaa dssfedssfeey 0 )(20 )(2 )()(11 ?? 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 線性非齊次方程初值解公式在理論上的意義 我們可以利用它來研究解得性質(zhì)，對(duì)解進(jìn)行 “ 估值 ” 。 的通解之和是非齊次方程的通解。 為非齊次方程的解。( ) ( ( ) )( ) ( ( ) ) ( )y u x e x p P x dxu x e x p P x dx p x???? 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 線性微分方程解的性質(zhì) : ，或恒不為零。y 代入 ( ) ( )y P x y Q x? ?? 得 y39。 再把通解表達(dá)式中的常數(shù) C換成一個(gè)待定函數(shù) ()ux 。 c 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 一般地，把方程 ( ( ) ) ( ) ( ( ) ) 0y e x p P x d x P x y e x p P x d x? ? ? ? ? ???即 ( ( ( ) ) ) 0y e x p P x d x ?? ? ??整理得通解為 ( ( ) )y c e x p P x
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