常微分方程43高階微分方程的降階和冪級數(shù)解法-文庫吧資料
2025-05-19 05:30本頁面
【正文】 : 第一步 : 原方程化為自變量為新的為新的未知函數(shù)并令,39。 ?? knyyytF ?第二步 : 求以上方程的通解 ),( 1 knccty ?? ??即 ),(1)( knk cctx ?? ??第三步 : 對上式求 k次積分 ,即得原方程的通解 為任常數(shù)這里 nn cccctx ,),( 11 ????)(0),( )()1()( ?? nkk xxxtF ?2021/6/17 常微分方程 解 令 ,44ydtxd ? 則方程化為 01 ?? ytdtdy這是一階方程 ,其通解為 ,cty ?即有 ,44ctdtxd ?對上式積分 4次 , 得原方程的通解為 ,54233251 ctctctctcx ?????例 1 .01 4455的通解求方程 ??dtxdtdtxd2021/6/17 常微分方程 2 不顯含自變量 t的方程 , 一般形式 : )(,0),( )(39。 ?nxxxtF ? 1 不顯含未知函數(shù) x, 或更一般不顯含未知函數(shù)及其直到 k1(k1)階導數(shù)的方程是 )(0),( )()1()( ?? nkk xxxtF ?階方程的則可把方程化為若令 knyyx k ?? ,)()(0),( )(39。2021/6/17 常微分方程 167。 微分方程的降階和冪級數(shù)解法 2021/6/17 常微分方程 一、可降階的一些方程類型 n階微分方程的一般形式 : 0),( )(39。 ?? knyyytF ?若能求得 ()的通解 ),(1 knccty ?? ??對上式經(jīng)過 k次積分 ,即可得 ()的通解 即 ),(1)( knk cctx ?? ??為任常數(shù)這里 nn cccctx ,),( 11 ????2021/6/17 常微分方程 解題步驟 : 則方程化為令 ,)( yx k ?第一步 : 0),( )(39。 ?nxxxF ?,39。 xyxy ?0),( )1()1(???nndxyddxdyyxG ?第二步 : 求以上方程的通解 ),( 11 ?? nccxy ??第三步 : 解方程 ),( 11 ?? nccxdtdx ??即得原方程的通解 2021/6/17 常微分方程 解 令 , 作為新的自變量并以 xydtdx ?則方程化為 02 ?? ydxdyxy從而可得 ,0?y 及 ,xydxdy ?這兩方程的全部解是 ,1 xcy ?例 2 .0)( 222的通解求方程 ??dtdxdtxdx再代回原來變量得到 ,1 xcdtdx ?所以得原方程的通解為 12 ,ctx c e?2021/6/17 常微分方程 3 已知齊線性方程的非零特解 ,進行降階 1( 1 ) 0xx??設(shè) 是二階齊線性方程22 ( ) ( ) 0 , ( 4 . 6 9 )d x d xp t q t xd t d t? ? ?的非零解 令 1x x y?則 39。 39。39。39。 39。39。39。 39。39。1 1 1 1 1 1[ 2 ( ) ] [ ( ) ( ) ] 0x y x p t x y x p t x q t x y? ? ? ? ? ?即 39。 39。1 1 1[ 2 ( ) ] 0x y x p t x y? ? ?2021/6/17 常微分方程 39。 39。1 1 1[ 2 ( ) ] 0x y x p t x y? ? ?引 入新的未知函數(shù) 39。1 1 1[ 2 ( ) ] 0dzx x p t x zdt ? ? ?是一階線性方程 ,解之得 ()21,p t d tczex? ??因而 ()1 1 2 211[ ] , ( 4 . 7 0 )p t d tx x c c e d tx? ??? ?12,cc這里 是任常數(shù).則 (
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