常微分方程43高階微分方程的降階和冪級(jí)數(shù)解法(參考版)
2025-05-15 05:30本頁(yè)面
【正文】 ()nJx但 可 用 一 3 介 紹 的 降 階 法 , 求 出 與 線 性 無(wú) 關(guān) 的 解 ,因此 ,()的通解為 112 21( ) [ ] ,()dxxnny J x c c e d xJx? ??? ?12 21( ) [ ] ,()n nJ x c c d xx J x?? ? 12,.cc 為 任 常 數(shù)2021/6/17 常微分方程 例 6 2 39。aa??0因而 22 nny x a x a x? ? ? ?=122 nny a x na x ?? ? ? ? ?=12232 3 2 ( 1 ) nny a a x n n a x ??? ? ? ? ? ? ?=將它代入方程 ,合并同類項(xiàng) ,并令各項(xiàng)系數(shù)等于零 ,得 2021/6/17 常微分方程 220a ?33 2 2 4 0a? ? ? ?4224 3 4 4 0aaa? ? ? ?22( 1 ) 2( 2) 4 0n n nn n a n a a??? ? ? ? ?即 2 0,a ? 3 1,a ? 4 0,a ?,22 ,1nnaan ???因而 51 ,2!a ? 6 0,a ? 7 1 ,3!a ? 8 0,a ? 9 1 ,4!a ?也即 211 ,!kak?? 2 0,ka ?。39。1( ) , 1 , 2 , , 2iikzu i kz ?? ? ?nk以 上 做 法 一 直 下 去 , 可 降 低 階 .2021/6/17 常微分方程 二、二階線性方程的冪級(jí)數(shù)解法 對(duì)二階變系數(shù)齊線性方程 22 ( ) ( ) 0 ( 4 . 7 2 )d y d yp x q x yd x d x? ? ?其求解問(wèn)題 ,歸結(jié)為尋求它的一個(gè)非零解 . 下面考慮該方程及初始條件 39。( ) , 1 , 2 , , 1 ( 4 . 6 7 ) 1iikxz i k kx? ? ? ?且 是 的 個(gè)線性無(wú)關(guān)的解事實(shí)上 21, , , ( ) ,kx x x ?1由 為 的 解 及 以 上 變 換 知39。 ( 1 )1[ ( ) ]nnk k kx y nx a t x y?? ? ?( ) ( 1 )1[ ( ) ] 0nnk k n kx a t x a x y?? ? ? ? ?( 4 .2 )kx因 為 的解, y故 的 系 數(shù) 恒 為 零 , y即 化 為 不 含 的 方 程 ,39。39。2k k kx x y x y x y? ? ?( ) ( ) 39。 39。 39。 39。kkx x y x y??39。 39。zy?令 方程變?yōu)?9。 39。39。 ,zy?方程變?yōu)? 39。 39。39。 39。39。 39。 39。 39。1 1 12x x y x y x y? ? ?代入 ()得 39。 39。 39。 39。11x x y x y??39。 39。 作為新的自變量而把作為新的未知函數(shù)此時(shí)以 xxy ?,ydtdx ?因?yàn)? ?dtdy?22dtxddxdy ?dtdx ,dxdyy3232d x d d xd t d t d t?dtd?)( dxdyydxdxdyyd )(?dtdx,222dxydy?2)(dxdyy?2021/6/17 常微分方程 用數(shù)學(xué)歸納法易得 : 來(lái)表達(dá)可用 )(, )1()1()( nkdxyddxdyyxkkk ????將這些表達(dá)式代入 ()可得 : 2222( , , , ( ) , ) 0d y d y d yF x y y y yd x d x d x??即有新方程 0),( )1()1(???nndxyddxdyyxG ?它比原方程降低一階 2021/6/17 常微分方程 解題步驟
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