常微分方程43高階微分方程的降階和冪級數(shù)解法(已改無錯字)
2023-06-23 05:30:47 本頁面
【正文】 則 方 程 有 形 如00, ( 4 . 7 5 )nnnnnny x a x a x???????????0 0,.axR???的 特 解 , 這 里 是 一 個 待 定 常 數(shù) , 級 數(shù) () 也 以為 收 斂 區(qū) 間2021/6/17 常微分方程 例 4 39。39。2 4 0 ( 0 ) 0 ,.x y y yy? ? ? ?求方程y 滿足初始條件(0)=1 的解解 設級數(shù) 1 nna a x a x? ? ? ?0y=為方程的解 , ( 1 , 2 , )ai ?i這 里 是 一 個 待 定 常 數(shù) ,由初始條件得 : 10 , 1 。aa??0因而 22 nny x a x a x? ? ? ?=122 nny a x na x ?? ? ? ? ?=12232 3 2 ( 1 ) nny a a x n n a x ??? ? ? ? ? ? ?=將它代入方程 ,合并同類項 ,并令各項系數(shù)等于零 ,得 2021/6/17 常微分方程 220a ?33 2 2 4 0a? ? ? ?4224 3 4 4 0aaa? ? ? ?22( 1 ) 2( 2) 4 0n n nn n a n a a??? ? ? ? ?即 2 0,a ? 3 1,a ? 4 0,a ?,22 ,1nnaan ???因而 51 ,2!a ? 6 0,a ? 7 1 ,3!a ? 8 0,a ? 9 1 ,4!a ?也即 211 ,!kak?? 2 0,ka ?。k對一切正整數(shù) 成立2021/6/17 常微分方程 故方程的解為 5 2 132 ! !kxxxxk?? ? ? ? ?y=422( 1 )2 ! !kxxxxk? ? ? ? ? ?2xxe?2021/6/17 常微分方程 例 5 22 2 22( ) 0 ( 4 .7 4 ).d y d yx x x n yd x d xn? ? ? ?求 解 n 階 Bessel 方 程這 里 為 非 負 常 數(shù)解 將方程改寫為 2 2 2221 0d y d y x n yd x x d x x?? ? ?易見 ,它滿足定理 11條件 ,且 2 2 2( ) 1 , ( )x p x x q x x n? ? ?,11xx ? ? ? ? ? ?按 展成的冪級數(shù)收斂區(qū)間為由定理 方程有形如2021/6/17 常微分方程 0, ( 4 .7 5 )knky a x ????? ?0 0,a ??的 解 , 這 里 是 一 個 待 定 常 數(shù) ,將 ()代入 ()中 ,得 220kkx a x ???????? k( + k ) ( + k 1 ) 10kkx a x ??????? ? k( + k )220( ) 0kkx n a x ????? ? ?? kx比較 的同次冪系數(shù)得2021/6/17 常微分方程 220 ( ) 0an? ??221 [ ( 1 ) ] 0an? ? ? ?22 2[ ( ) ] 0 , 2 , 3 ,kka k n a k? ?? ? ? ? ?()?????a ?0因 為 0, 22 0,n? ??則有 ,n? ??從而,n? ?為確定起見暫令 由 ()得 1 0,a ? 2 , 2 , 3 ,( 2 )kkaakk n k?? ? ??即 2121 ,( 2 1 ) ( 2 2 1 )kkaak n k?? ?? ? ? ?222 ,2 ( 2 2 )kkaak n k????1 , 2 ,k ??????2021/6/17 常微分方程 從而可得 21
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