常微分方程43高階微分方程的降階和冪級(jí)數(shù)解法(編輯修改稿)
2025-06-16 05:30 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 4 . 2 )nnnnnd x d xa t a t xd t d t??? ? ? ?2, , , ,kx x x1的 k 個(gè) 線 性 無 關(guān) 的 解0 , 1 , 2 , , ,ix i k??顯然 ,kx x y?令則39。 39。 39。kkx x y x y??39。39。 39。39。 39。 39。 39。39。2k k kx x y x y x y? ? ?( ) ( ) 39。 ( 1 ) 39。39。 ( 2 ) ( )( 1 )2n n n n nk k k knnx x y n x y x y x y?? ?? ? ? ? ?代入 ()得 2021/6/17 常微分方程 ( ) 39。 ( 1 )1[ ( ) ]nnk k kx y nx a t x y?? ? ?( ) ( 1 )1[ ( ) ] 0nnk k n kx a t x a x y?? ? ? ? ?( 4 .2 )kx因 為 的解, y故 的 系 數(shù) 恒 為 零 , y即 化 為 不 含 的 方 程 ,39。 ,z y x?? k令 則 在 0 的 區(qū) 間 上 方 程 變 為( 1 ) ( 1 )11( ) ( ) 0 , ( 4. 67 )nn nz b t z b t z?? ?? ? ? ?39。( ) , 1 , 2 , , 1 ( 4 . 6 7 ) 1iikxz i k kx? ? ? ?且 是 的 個(gè)線性無關(guān)的解事實(shí)上 21, , , ( ) ,kx x x ?1由 為 的 解 及 以 上 變 換 知39。()kkxz x x z d tx?? ?或2021/6/17 常微分方程 21, , , ( 7 ) ,kz z z ?1因此 是 的解若 1 2 2 1 1kkz z z? ? ? ??? ? ? ?1 0則 1 2 1kkk k kx x xx x x? ? ? ??? ? ? ? ?1 2 k 1即 1 2 2 1 1k k k kx x x x? ? ? ???? ? ? ? ?1 02, , , ,kx x x1由 線 性 無 關(guān) 知1 2 1, kk? ? ? ?? 全為021, , , ,kzz ?1故z 線性無關(guān)因此 ,對(duì) ()仿以上做法 , 1 ,kz udt?? ?令z2un則 可 把 方 程 化 為 關(guān) 于 的 階 線 性 方 程2021/6/17 常微分方程 ( 2 ) ( 3 )12( ) ( ) 0 , ( 4. 68 )nn nu c t u c t u?? ?? ? ? ?,k且 可 () 的 2 個(gè) 線 性 無 關(guān) 的 解39。1( ) , 1 , 2 , , 2iikzu i kz ?? ? ?nk以 上 做 法 一 直 下 去 , 可 降 低 階 .2021/6/17 常微分方程 二、二階線性方程的冪級(jí)數(shù)解法 對(duì)二階變系數(shù)齊線性方程 22 ( ) ( ) 0 ( 4 . 7 2 )d y d yp x q x yd x d x? ? ?其求解問題 ,歸結(jié)為尋求它的一個(gè)非零解 . 下面考慮該方程及初始條件 39。 ( 1 )0 0 0 0( ) , ( )y x y y x y?? 的情況用級(jí)數(shù)表示解 ? 0 0)x ?( 不失一般性, 可設(shè)2021/6/17 常微分方程 定理 10 , ( 4 . 7 2 )p x q x xxR ?若 方 程 () 中 系 數(shù) () 和 () 都 可 展 成 的冪 級(jí) 數(shù) , 且 收 斂 區(qū) 間 為 則 方 程 有 形 如0, ( 4 . 7 3 )nnny a x???=.xR ?的 特 解 , 也 以 為 級(jí) 數(shù) 的 收 斂 區(qū) 間2021/6/17 常微分方程 定理 11 2( ) ( )( ) ( ), ( 4. 72 )p x q xx p x x q xxR ?若 方 程 () 中 系 數(shù) 和 都 具 有 這 樣 的性 質(zhì) , 即 和 均 可 展 成 x 的 冪 級(jí) 數(shù) , 且 收 斂 區(qū)間 為
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